对任意的正整数 $k$，令 ${{f}_{1}}\left( k \right)$ 为 $k$ 的各位数字的和的平方．对于 $n\geqslant 2$，令 ${{f}_{n}}\left( k \right)={{f}_{1}}\left( {{f}_{n-1}}\left( k \right) \right)$，求 ${{f}_{1988}}\left( 11 \right)$．
【难度】
【出处】
1988年第6届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
169
【解析】
由定义可得
${{f}_{1}}\left(11 \right)={{\left( 1+1 \right)}^{2}}=4$，
${{f}_{2}}\left(11 \right)={{f}_{1}}\left( {{f}_{1}}\left( 11 \right) \right)={{f}_{1}}\left( 4\right)={{4}^{2}}=16$，
${{f}_{3}}\left(11 \right)={{f}_{1}}\left( {{f}_{2}}\left( 11 \right) \right)={{f}_{1}}\left(16 \right)={{\left( 1+6 \right)}^{2}}=49$，
${{f}_{4}}\left(11 \right)={{f}_{1}}\left( {{f}_{3}}\left( 11 \right) \right)={{f}_{1}}\left(49 \right)={{\left( 4+9 \right)}^{2}}=169$，
${{f}_{5}}\left(11 \right)={{f}_{1}}\left( {{f}_{4}}\left( 11 \right) \right)={{f}_{1}}\left(169 \right)={{\left( 1+6+9 \right)}^{2}}=256$，
${{f}_{6}}\left(11 \right)={{f}_{1}}\left( {{f}_{5}}\left( 11 \right) \right)={{f}_{1}}\left(256 \right)={{\left( 2+5+6 \right)}^{2}}=169$．
因为 ${{f}_{n}}\left( 11\right)$ 只依赖于 ${{f}_{n-1}}\left( 11 \right)$，因此256和169将连续交替出现，也就是 $n\ge4$ 有
${{f}_{n}}\left( 11 \right)=\left\{ \begin{align}
& 169 n \\
& 256 n. \\
\end{align} \right.$
由于1988是偶数，所以 ${{f}_{1988}}\left( 11 \right)=169$．
${{f}_{1}}\left(11 \right)={{\left( 1+1 \right)}^{2}}=4$，
${{f}_{2}}\left(11 \right)={{f}_{1}}\left( {{f}_{1}}\left( 11 \right) \right)={{f}_{1}}\left( 4\right)={{4}^{2}}=16$，
${{f}_{3}}\left(11 \right)={{f}_{1}}\left( {{f}_{2}}\left( 11 \right) \right)={{f}_{1}}\left(16 \right)={{\left( 1+6 \right)}^{2}}=49$，
${{f}_{4}}\left(11 \right)={{f}_{1}}\left( {{f}_{3}}\left( 11 \right) \right)={{f}_{1}}\left(49 \right)={{\left( 4+9 \right)}^{2}}=169$，
${{f}_{5}}\left(11 \right)={{f}_{1}}\left( {{f}_{4}}\left( 11 \right) \right)={{f}_{1}}\left(169 \right)={{\left( 1+6+9 \right)}^{2}}=256$，
${{f}_{6}}\left(11 \right)={{f}_{1}}\left( {{f}_{5}}\left( 11 \right) \right)={{f}_{1}}\left(256 \right)={{\left( 2+5+6 \right)}^{2}}=169$．
因为 ${{f}_{n}}\left( 11\right)$ 只依赖于 ${{f}_{n-1}}\left( 11 \right)$，因此256和169将连续交替出现，也就是 $n\ge4$ 有
${{f}_{n}}\left( 11 \right)=\left\{ \begin{align}
& 169 n \\
& 256 n. \\
\end{align} \right.$
由于1988是偶数，所以 ${{f}_{1988}}\left( 11 \right)=169$．
答案
解析
备注
