一个大于1的自然数，如果它恰好等于其不同真因子（除1及其本身的因子）的积，那么称它为“好的”．求前10个“好的”自然数的和．
【难度】
【出处】
1987年第5届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
182
【解析】
设 $k$ 是一个正整数，令 $1,{{d}_{1}},{{d}_{2}},\cdots {{d}_{n-1}},{{d}_{n}},k$ 是它所有的因子，且按递增顺序排列，则
$1\times k={{d}_{1}}\times {{d}_{n}}={{d}_{2}}\times{{d}_{n-1}}=\cdots $，
若 $k$ 是“好的”，则由定义，这些积还等于 ${{d}_{1}}{{d}_{2}}\cdots {{d}_{n-1}}{{d}_{n}}$，从而 $n$ 只能是2且 ${{d}_{1}}$ 必须是素数（否则 ${{d}_{1}}$ 的素因数将在上述序列的1和 ${{d}_{1}}$ 间出现）．同理 ${{d}_{2}}$ 也必须是素数或 ${{d}_{1}}$ 的平方（否则在1和 ${{d}_{2}}$ 间不会只有一个素因数 ${{d}_{1}}$），所以 $k$ 或是两个不同素数的积或是一个素数与其平方的积，即一个素数的立方．由此易列出前10个好数为：6，8，10，14，15，21，22，26，27和33，它们的和为182．
$1\times k={{d}_{1}}\times {{d}_{n}}={{d}_{2}}\times{{d}_{n-1}}=\cdots $，
若 $k$ 是“好的”，则由定义，这些积还等于 ${{d}_{1}}{{d}_{2}}\cdots {{d}_{n-1}}{{d}_{n}}$，从而 $n$ 只能是2且 ${{d}_{1}}$ 必须是素数（否则 ${{d}_{1}}$ 的素因数将在上述序列的1和 ${{d}_{1}}$ 间出现）．同理 ${{d}_{2}}$ 也必须是素数或 ${{d}_{1}}$ 的平方（否则在1和 ${{d}_{2}}$ 间不会只有一个素因数 ${{d}_{1}}$），所以 $k$ 或是两个不同素数的积或是一个素数与其平方的积，即一个素数的立方．由此易列出前10个好数为：6，8，10，14，15，21，22，26，27和33，它们的和为182．
答案
解析
备注
