若任意从 ${{10}^{99}}$ 的正约数中选取一个，它正好也是 ${{10}^{88}}$ 的倍数的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 互素，求 $m+n$．
【难度】
【出处】
1988年第6届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
634
【解析】
${{10}^{99}}$ 的约数具有 ${{2}^{a}}\cdot {{5}^{b}}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 满足 $0\leqslant a\le99$，$0\leqslant b\leqslant 99$，因此，对 $a$ 和 $b$ 各有100种选择方法，${{10}^{99}}$ 就有 $100\times100$ 个正约数．在这些正约数中，${{10}^{88}}$ 的倍数，即 ${{10}^{88}}={{2}^{88}}\cdot {{5}^{88}}$ 的倍数，必须满足 $88\leqslant a\leqslant 99$，$88\leqslant b\leqslant 99$．这样便有12种选 $a$ 和选 $b$ 的可能性，因此在 $100\times100$ 个数中便有 $12\times 12$ 个 ${{10}^{88}}$ 的倍数．所以 $\frac{m}{n}=\frac{12\times 12}{100\times 100}=\frac{9}{625}$，从而 $m+n=634$．
答案
解析
备注
