设 $P=x^4+6x^3+11x^2+3x+31$，求使 $P$ 为完全平方数的整数 $x$ 的值．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
因为$$P=(x^2+3x+1)^2-3(x-10),$$所以当 $x=10$ 时，$P=131^2$ 是完全平方数．
下证没有其他整数 $x$ 满足要求．
情形一 当 $x>10$ 时，有$$P<(x^2+3x+1)^2.$$又$$P-(x^2+3x)^2=2x^2+3x+31>0,$$所以$$P>(x^2+3x)^2,$$从而$$(x^2+3x)^2<P<(x^2+3x+1)^2.$$又 $x\in \mathbb Z$，所以此时 $P$ 不是完全平方数．
情形二 当 $x<10$ 时，有$$P>(x^2+3x+1)^2.$$令 $P=y^2$，$y\in \mathbb Z$，则$$|y|>|x^2+3x+1|,$$即$$|y|-1 \geqslant |x^2+3x+1|,$$所以$$y^2-2|y|+1 \geqslant (x^2+3x+1)^2 ,$$即$$ -3(x-10)-2|x^2+3x+1|+1 \geqslant 0,$$解此不等式，得 $x$ 的整数值为$$\pm 2,\pm 1,0,-3,-4,-5,-6,$$但它们对应的 $P$ 均不是完全平方数．
综上所述，使 $P$ 为完全平方数的整数 $x$ 的值为 $10$．
下证没有其他整数 $x$ 满足要求．
综上所述，使 $P$ 为完全平方数的整数 $x$ 的值为 $10$．
答案
解析
备注
