在某一个圆中长度为2，3，4的平行弦分别对应于圆心角 $\alpha $，$\beta $，$\alpha +\beta $，其中 $\alpha +\beta <\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$．如果把 $\cos \alpha $（这是一个正有理数）化成既约（最简）分数，问分子和分母之和是多少？
【难度】
【出处】
1985年第3届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
49
【解析】
因为同圆中等弦所对的圆心角相等，所以这几条弦的平行性是无关紧要的．我们可以如图选取 $A$，$B$，$C$ 各点，使 $AB=2$，$BC=3$，因为 $\overset\frown{AC}$ 的度数等于 $\alpha +\beta $，所以必有 $AC=4$，从 $\angle ACB=\frac{\alpha }{2}$，用余弦定理可得
$\cos \frac{\alpha}{2}=\frac{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}-{{2}^{2}}}{2\cdot 4\cdot 3}=\frac{7}{8}$．
于是 $\cos \alpha =2{{\cos}^{2}}\frac{\alpha }{2}-1=2\cdot \frac{49}{64}-1=\frac{17}{32}$．
这正是一个既约分数，所以分子与分母之和为 $17+32=49$．
$\cos \frac{\alpha}{2}=\frac{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}-{{2}^{2}}}{2\cdot 4\cdot 3}=\frac{7}{8}$．
于是 $\cos \alpha =2{{\cos}^{2}}\frac{\alpha }{2}-1=2\cdot \frac{49}{64}-1=\frac{17}{32}$．
这正是一个既约分数，所以分子与分母之和为 $17+32=49$．
答案
解析
备注
