求证：当 $p,q$ 都为奇数时，若方程 $x^2-2px+2q=0$ 有实数根，则该方程的根必为无理数．
【难度】
【出处】
2009年清华大学保送生试题（理科）
【标注】
【答案】
略
【解析】
抛物线 $y=x^2-2px+2q$ 与 $x$ 轴交点的横坐标满足 $x^2-2px+2q=0$，解得$$x=p\pm \sqrt{p^2-2q}.$$由题意，$p,q$ 均为奇数，故 $p^2-2q$ 不可能是完全平方数．因此 $x=p\pm \sqrt{p^2-2q}$ 是无理数，原命题得证．
答案
解析
备注
