设 $\left[ r ,s \right]$ 表示正整数 $r$ 和 $s$ 的最小公倍数，求有序三元正整数组 $\left( a, b, c \right)$ 的个数，其中 $\left[ a ,b \right]=1000$，$\left[ b, c \right]=2000$，$\left[ c, a \right]=2000$．
【难度】
【出处】
1987年第5届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
70
【解析】
显然 $a b c$ 均为 ${{2}^{m}}{{5}^{n}}$ 形，不妨设 $a={{2}^{{{m}_{1}}}}{{5}^{{{n}_{1}}}}$，$b={{2}^{{{m}_{2}}}}{{5}^{{{n}_{2}}}}$，$c={{2}^{{{m}_{3}}}}{{5}^{{{n}_{3}}}}$，这里 ${{m}_{i}},{{n}_{i}}\left( i=1 2 3 \right)$ 均为非负整数．由题意 $\left[ a,b \right]={{2}^{3}}\cdot {{5}^{3}}$，$\left[ b,c\right]={{2}^{4}}\cdot {{5}^{3}}$，$\left[ c,a \right]={{2}^{4}}\cdot {{5}^{3}}$，所以
$\max \left\{ {{m}_{1}},{{m}_{2}} \right\}=3$，$\max\left\{ {{m}_{2}},{{m}_{3}} \right\}=4$，$\max \left\{{{m}_{3}},{{m}_{1}} \right\}=4$．（2）
$\max \left\{ {{n}_{1}},{{n}_{2}} \right\}=3$，$\max\left\{ {{n}_{2}},{{n}_{3}} \right\}=3$，$\max \left\{{{n}_{3}},{{n}_{1}} \right\}=3$．（3）
由（2）得 ${{m}_{3}}=4$．而 ${{m}_{1}} {{m}_{2}}$ 中必有一个是3，此时另一个则可取0，1，2或3，不计重复一共7种不同的情况，由（3）得 ${{n}_{1}} {{n}_{2}} {{n}_{3}}$ 中必须2个是3，此时第3个数可取0，1，2或3．不计重复共10种不同情况．从而满足条件的数组 $\left(a b c \right)$ 共有 $7\times 10=70$ 个．
$\max \left\{ {{m}_{1}},{{m}_{2}} \right\}=3$，$\max\left\{ {{m}_{2}},{{m}_{3}} \right\}=4$，$\max \left\{{{m}_{3}},{{m}_{1}} \right\}=4$．（2）
$\max \left\{ {{n}_{1}},{{n}_{2}} \right\}=3$，$\max\left\{ {{n}_{2}},{{n}_{3}} \right\}=3$，$\max \left\{{{n}_{3}},{{n}_{1}} \right\}=3$．（3）
由（2）得 ${{m}_{3}}=4$．而 ${{m}_{1}} {{m}_{2}}$ 中必有一个是3，此时另一个则可取0，1，2或3，不计重复一共7种不同的情况，由（3）得 ${{n}_{1}} {{n}_{2}} {{n}_{3}}$ 中必须2个是3，此时第3个数可取0，1，2或3．不计重复共10种不同情况．从而满足条件的数组 $\left(a b c \right)$ 共有 $7\times 10=70$ 个．
答案
解析
备注
