题目 若 ${A_1},{A_2}, \cdots ,{A_m}$ 为集合 $A = \left\{ {1,2, \cdots ,n} \right\}$（$n \geqslant 2$ 且 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$）的子集，且满足两个条件：① ${A_1} \cup {A_2} \cup \cdots \cup {A_m} = A$；② 对任意的 $\left\{ {x,y} \right\} \subseteq A$，至少存在一个 $i \in \left\{ {1,2,3, \cdots ,m} \right\}$，使 ${A_i} \cap \left\{ {x,y} \right\} = \left\{ x \right\}$ 或 $\left\{ y \right\}$，则称集合组 ${A_1},{A_2}, \cdots ,{A_m}$ 具有性质 $P$． 问题1 当 $n = 4$ 时，判断下列两个集合组是否具有性质 $P$：<br/>集合组 $1$：${A_1} = \left\{ {1,3} \right\}$，${A_2} = \left\{ {2,3} \right\}$，${A_3} = \left\{ 4 \right\}$；<br/>集合组 $2$：${A_1} = \left\{ {2,3,4} \right\}$，${A_2} = \left\{ {2,3} \right\}$，${A_3} = \left\{ {1,4} \right\}$． 答案1 集合组 $1$ 具有性质 $P$，集合组 $2$ 不具有性质 $P $ 解析1 作 $m$ 行 $n$ 列的数表，第 $i$ 行的第 $k$ 列的数用 $1$ 和 $0$ 表示其对应的数 $k$ 是否在集合 $A_i$ 中．<br/>如图，⑴中的两个集合组对应的数表为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline<br/>&1&2&3&4 \\ \hline<br/>1&1&0&1&0 \\ \hline<br/>2&0&1&1&0 \\ \hline<br/>3&0&0&0&1 \\ \hline\end{array}\]\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline<br/>&1&2&3&4\\ \hline<br/>1&0&1&1&1 \\ \hline<br/>2&0&1&1&0 \\ \hline<br/>3&1&0&0&1\\ \hline \end{array}\]根据题意，条件 ① 即数表中任何一列均不为全零；条件 ② 即数表中任何两列不完全相同． 备注1 问题2 当 $n = 7$ 时，写出一个具有性质 $P$ 的集合组 $A_1,A_2,A_3$； 答案2 $A_1=\{4,5,6,7\}$，$A_2=\{2,3,6,7\}$，$A_3=\{1,3,5,7\}$ 解析2 对于 $n=7$ 时，可以依照 $2$ 进制数的表示法填表如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline<br/>&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline<br/>1&0&0&0&1&1&1&1 \\ \hline<br/>2&0&1&1&0&0&1&1\\ \hline<br/>3&1&0&1&0&1&0&1\\ \hline\end{array}\]于是集合组 $A_1=\{4,5,6,7\}$，$A_2=\{2,3,6,7\}$，$A_3=\{1,3,5,7\}$ 符合题意． 备注2 问题3 当 $n = 100$ 时，集合组 ${A_1},{A_2}, \cdots ,{A_t}$ 是具有性质 $P$ 且所含集合个数最小的集合组，求 $t$ 的值及 $ \left|{A_1} \right| + \left|{A_2} \right| + \cdots+ \left |{A_t} \right|$ 的最小值．（其中 $|{A_i}|$ 表示集合 ${A_i}$ 所含元素的个数） 答案3 $t=7$，$ \left|{A_1} \right| + \left|{A_2} \right| + \cdots+ \left |{A_t} \right|$ 的最小值为 $204$ 解析3 由⑵，由于$$100_{(10)}=1100100_{(2)},$$所以至少需要 $7$ 个集合组成集合组，即 $t=7$．<br/>在 $7$ 位的二进制数中，只有 $1$ 个 $1$ 的，有 ${\rm C}_7^1=7$ 个；<br/>有 $2$ 个 $1$ 的，有 ${\rm C}_7^2=21$ 个；<br/>有 $3$ 个 $1$ 的，有 ${\rm C}_7^3=35$ 个；<br/>有 $4$ 个 $1$ 的，有 ${\rm C}_7^4=35$ 个；<br/>有 $5$ 个 $1$ 的，有 ${\rm C}_7^5=21$ 个．<br/>于是 $|A_1|+|A_2|+\cdots +|A_7|$ 的最小值为$$1\times 7+2\times 21+3\times 35+4\times 35+5\times 2=204.$$ 备注3