已知 $a\in \mathbb N^\ast$，函数 $y=3x+\sqrt{15-2ax}$ 的最大值为 $M$ 且 $M\in \mathbb N^\ast$．求 $M$ 的最大值及对应的 $a$ 值与 $x$ 值．
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$M$ 的最大值为 $8$，对应的 $(a,x)=\left(3,\dfrac73\right)$ 或 $\left(45,-\dfrac73\right)$
【解析】
设 $t=\sqrt{15-2ax}$，则 $t\geqslant 0$，且$$x=\dfrac{15-t^2}{2a},$$题中函数即$$y=-\dfrac 3{2a}t^2+t+\dfrac{45}{2a},t\geqslant 0,$$琦最大值当 $t=\dfrac a3$ 时取得，为$$M=\dfrac{a^2+135}{6a},$$若 $M\in\mathbb N^\ast$，则需$$\left(a\mid a^2+135\right)\land\left(6\mid a^2+135\right),$$也即\[\left(a\mid 135\right)\land \left(6\mid a^2+3\right),\]所以$$a=3,9,15,45.$$当 $a=3$ 或 $45$ 时，$M$ 取得最大值 $8$，此时对应的$$(a,x)=\left(3,\dfrac73\right),\left(45,-\dfrac73\right).$$
答案
解析
备注
