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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25774 597e833ed05b90000addb26f 高中 解答题 高中习题 证明：如果整系数二次方程 $a{x^2} + bx + c = 0$ 存在有理根，那么 $a , b , c$ 三个数中至少有一个是偶数． 2022-04-17 20:59:48
25765 597e8814d05b90000c805753 高中 解答题 高中习题 证明：若 $m$ 是任一正整数，则 $a_m=\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1{2^m}$ 不是整数． 2022-04-17 20:55:48
25761 597e8bb1d05b90000b5e3091 高中 解答题 高中习题 已知 $A=\left\{x\mid x=n!+n\right\}$，$B$ 是 $A$ 在正整数集 $\mathbb N^*$ 上的补集． 2022-04-17 20:53:48
25716 597071abdbbeff0009d29f7a 高中 解答题 高中习题 是否存在实数 $x$ 使 $\tan x + \sqrt 3 $ 与 $\cot x + \sqrt 3 $ 均为有理数？ 2022-04-17 20:29:48
25508 590996cd38b6b400091f001f 高中 解答题 自招竞赛 对于任意给定的无理数 $a,b$ 及实数 $r>0$，证明：圆周 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上至多有两个有理点（指横纵坐标均为有理数的点）． 2022-04-17 20:35:46
25345 590fdf10857b420007d3e5c3 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，${a_1} \ne 0$，$v{S_{n + 1}} - u{S_n} = {a_1}v$，其中 $u$，$v$ 是正整数，且 $u > v$，$n \in {{\mathbb {N}}^ * }$． 2022-04-17 20:01:45
25304 59127502e020e700094b0b5e 高中 解答题 高考真题 记 $U=\{1,2,\cdots ,100\}$．对数列 $\{a_n\}$（$n\in\mathbb N^*$）和 $U$ 的子集 $T$，若 $T=\varnothing$，定义 $S_T=0$；若 $T=\{t_1,t_2,\cdots ,t_k\}$，定义 $S_T=a_{t_1}+a_{t_2}+\cdots +a_{t_k}$．例如：$T=\{1,3,66\}$ 时，$S_T=a_1+a_3+a_{66}$．现设 $\{a_n\}$（$n\in\mathbb N^*$）是公比为 $3$ 的等比数列，且当 $T=\{2,4\}$ 时，$S_T=30$． 2022-04-17 20:37:44
25287 5912a774e020e7000878f960 高中 解答题 自招竞赛 设 $f\left( x \right) = {x^2} + \left( {k + 1} \right)x + 2k + 1$，$g\left( k \right)$ 是 $k$ 的多项式． 2022-04-17 20:28:44
24602 59097bf139f91d0007cc933e 高中 解答题 高中习题 求所有使得 $2p^2-3p-1$ 为完全立方数的质数 $p$． 2022-04-17 20:16:38
24575 59127849e020e70007fbece1 高中 解答题 自招竞赛 求 $\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^{50} {\sum\limits_{j = 0}^{50} {\mathrm{C}_{50}^i\mathrm{C}_{50}^j} } $ 除以 $31$ 的余数． 2022-04-17 20:00:38
24573 59127e2ee020e7000878f891 高中 解答题 自招竞赛 在 $1$ 和 $9$ 两数之间插入 $2n - 1$ 个正数 ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \cdots , {a_{2n - 1}}$，使这 $2n + 1$ 个正数成等比数列，又在 $1$ 和 $9$ 之间插入 $2n - 1$ 个正数 ${b_1}, {b_2}, {b_3}, \cdots , {b_{2n - 1}}$，使这 $2n + 1$ 个正数成等差数列，设 ${A_n} = {a_1} \cdot {a_2} \cdot {a_3} \cdots {a_{2n - 1}}$ 及 ${B_n} = {b_1} + {b_2} + {b_3} + \cdots + {b_{2n - 1}}$． 2022-04-17 20:59:37
24570 5912adb7e020e7000878f985 高中 解答题 自招竞赛 请写出所有三个数均为质数，且公差为 $8$ 的等差数列，并证明你的结论． 2022-04-17 20:57:37
24566 5913fd5fe020e700094b0dd3 高中 解答题 高中习题 定理：设 $a,b$ 是两个互素的正整数，则所有不能表示成 $ax+by$（$x,y\in \mathbb{N}$）形式的整数构成的集合是\[
\left\{t\left| t=au-bv, u\in \mathbb{N}, v\in \mathbb{N}^{*}, u\leqslant b-1\right.\right\}.
\]		 2022-04-17 20:55:37
24565 591406b2e020e700094b0ddc 高中 解答题 高中习题 设 $n$ 是正整数，$x$ 是实数，则 $\left[\dfrac{[x]}{n}\right]=\left[\dfrac{x}{n}\right]$． 2022-04-17 20:55:37
24562 591417e40cbfff000adcab8f 高中 解答题 高中习题 一筐鸡蛋满足如下条件：
① $1$ 个 $1$ 个拿，正好拿完；
② $2$ 个 $2$ 个拿，还剩 $1$ 个；
③ $3$ 个 $3$ 个拿，正好拿完；
④ $4$ 个 $4$ 个拿，还剩 $1$ 个；
⑤ $5$ 个 $5$ 个拿，还差 $1$ 个；
⑥ $6$ 个 $6$ 个拿，还剩 $3$ 个；
⑦ $7$ 个 $7$ 个拿，正好拿完；
⑧ $8$ 个 $8$ 个拿，还剩 $1$ 个；
⑨ $9$ 个 $9$ 个拿，正好拿完，
问筐里最少有多少个鸡蛋？		 2022-04-17 20:53:37
24554 591425c91edfe2000949ce55 高中 解答题 高中习题 函数 $f:\mathbb{N}^{*}\mapsto \mathbb{N}^{*}$ 满足 $f(1)=1, f(2n+1)=f(2n)+1, f(2n)=3f(n)$，求 $f$ 的值域． 2022-04-17 20:48:37
24330 596099c13cafba00083371ab 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 为正整数，求证：$\dfrac{1}{n+1}\mathrm{C}_{2n}^{n}$ 是正整数． 2022-04-17 20:44:35
24275 596b28f622d14000091d72d1 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 为素数，$n$ 为正整数，且 $n=n_0+n_1p+n_2p^2+\cdots+n_tp^t$，其中 $n_i\in\mathbb N^*$，$0\leqslant n_i\leqslant p-1$，$i=0,1,2,\cdots,t$．令 $S_n$ 表示满足下列条件的有序三元数组 $(a,b,c)$ 的集合：
① $a,b,c$ 均为非负整数；
② $a+b+c=n$；
③ $\dfrac{n!}{a!b!c!}$ 不能被 $p$ 整除．
问集合 $S_n$ 中共有多少个有序三元数组 $(a,b,c)$？		 2022-04-17 20:13:35
24196 597e8694d05b90000addb286 高中 解答题 高中习题 设 $\left\{a_n\right\}$ 是可以表示为两个或两个以上连续正整数之和的正整数从小到大排成的数列，设此数列的前 $n$ 项和为 $S_n$． 2022-04-17 20:29:34
24191 597fdf673ccefb000891699b 高中 解答题 自招竞赛 试证明：集合 $A=\{2,2^2,\cdots,2^n,\cdots\}$ 满足 2022-04-17 20:25:34
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