定理：设 $a,b$ 是两个互素的正整数，则所有不能表示成 $ax+by$（$x,y\in \mathbb{N}$）形式的整数构成的集合是\[
\left\{t\left| t=au-bv, u\in \mathbb{N}, v\in \mathbb{N}^{*}, u\leqslant b-1\right.\right\}.
\]
\left\{t\left| t=au-bv, u\in \mathbb{N}, v\in \mathbb{N}^{*}, u\leqslant b-1\right.\right\}.
\]
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
先证明若 $t=au-bv, u\in \mathbb{N}, v\in \mathbb{N}^{*}, u\leqslant b-1$，
则整数 $t$ 不能表示成 $ax+by \left(x,y\in \mathbb{N}\right)$ 的形式．
用反证法．
假设 $t=au-bv=ax+by$，其中 $u,x,y\in \mathbb{N}$，$v\in \mathbb{N}^{*}$，$u\leqslant b-1$，则$$a(u-x)=b(v+y)\cdots {\text{ ① }},$$故 $b\mid a(u-x)$，考虑到 $a,b$ 互素，所以$$b\mid u-x\cdots {\text{ ② }}.$$但是 ① 式中 $b(v+y)>0$，$a>0$，
所以 $0<u-x<b$，与 ② 式矛盾．
再证明若整数 $t$ 不能表示成 $ax+by \left(x,y\in \mathbb{N}\right)$ 的形式，
则一定存在 $u\in \mathbb{N}$，$v\in \mathbb{N}^{*}$，$u\leqslant b-1$，使得 $t=au-bv$．
事实上，考察\[t,t-a,t-2a,\cdots,t-(b-1)a\]这 $b$ 个整数，它们模 $b$ 互不同余，从而其中必有一个是 $b$ 的倍数，设为 $t-ua$，其中 $0\leqslant u\leqslant b-1$，
则 $t-au=bs$，从而 $t=au+bs$，但 $t$ 不能表示成 $ax+by \left(x,y\in \mathbb{N}\right)$ 的形式，故 $s$ 是负整数．
令 $v=-s\in \mathbb{N}^{*}$，则\[t=au-bv, u\in \mathbb{N}, v\in \mathbb{N}^{*}, u\leqslant b-1.\]证毕．
则整数 $t$ 不能表示成 $ax+by \left(x,y\in \mathbb{N}\right)$ 的形式．
用反证法．
假设 $t=au-bv=ax+by$，其中 $u,x,y\in \mathbb{N}$，$v\in \mathbb{N}^{*}$，$u\leqslant b-1$，则$$a(u-x)=b(v+y)\cdots {\text{ ① }},$$故 $b\mid a(u-x)$，考虑到 $a,b$ 互素，所以$$b\mid u-x\cdots {\text{ ② }}.$$但是 ① 式中 $b(v+y)>0$，$a>0$，
所以 $0<u-x<b$，与 ② 式矛盾．
再证明若整数 $t$ 不能表示成 $ax+by \left(x,y\in \mathbb{N}\right)$ 的形式，
则一定存在 $u\in \mathbb{N}$，$v\in \mathbb{N}^{*}$，$u\leqslant b-1$，使得 $t=au-bv$．
事实上，考察\[t,t-a,t-2a,\cdots,t-(b-1)a\]这 $b$ 个整数，它们模 $b$ 互不同余，从而其中必有一个是 $b$ 的倍数，设为 $t-ua$，其中 $0\leqslant u\leqslant b-1$，
则 $t-au=bs$，从而 $t=au+bs$，但 $t$ 不能表示成 $ax+by \left(x,y\in \mathbb{N}\right)$ 的形式，故 $s$ 是负整数．
令 $v=-s\in \mathbb{N}^{*}$，则\[t=au-bv, u\in \mathbb{N}, v\in \mathbb{N}^{*}, u\leqslant b-1.\]证毕．
答案
解析
备注
