在 $1$ 和 $9$ 两数之间插入 $2n - 1$ 个正数 ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \cdots , {a_{2n - 1}}$，使这 $2n + 1$ 个正数成等比数列，又在 $1$ 和 $9$ 之间插入 $2n - 1$ 个正数 ${b_1}, {b_2}, {b_3}, \cdots , {b_{2n - 1}}$，使这 $2n + 1$ 个正数成等差数列，设 ${A_n} = {a_1} \cdot {a_2} \cdot {a_3} \cdots {a_{2n - 1}}$ 及 ${B_n} = {b_1} + {b_2} + {b_3} + \cdots + {b_{2n - 1}}$．
【难度】
【出处】
2008年上海财经大学自主招生试题
【标注】
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求数列 $\left\{ {{A_n}} \right\}$ 及 $\left\{ {{B_n}} \right\}$ 的通项；标注答案${A_n} = {3^{2n - 1}}$，${B_n} = 10n - 5$解析由题意得 ${a_0} = 1$，${a_{2n}} = 9$，所以$${A_n} = {\left( {{a_0}{a_{2n}}} \right)^{\frac{{2n - 1}}{2}}} = {3^{2n - 1}},$$又 ${b_0} = 1$，${b_{2n}} = 9$，故$${B_n} = \frac{{2n - 1}}{2}\left( {{b_0} + {b_{2n}}} \right) = 10n - 5.$$
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若 $f\left( n \right) = 9{A_n} + 4{B_n} + 17$（$n \in \mathbb{N^ * }$），试求出最大的自然数 $p$，使得 $f\left( n \right)$ 均能被 $p$ 整除．标注答案$64$解析由题意得$$f\left( n \right) = {3^{2n + 1}} + 40n - 3,$$所以$$f\left( 1 \right) = 64,f\left( 2 \right) = 320,f\left( 3 \right) = 2304,$$猜想 $p = 64$．
用数学归纳法，递推证明如下：归纳基础 已知 $f(1)$，$f(2)$，$f(3)$ 均能被 $64$ 整除．递推证明 假设 ${3^{2n + 1}} + 40n - 3 \equiv 0\left( {\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 64} \right)$，则\[\begin{split}\qquad{3^{2n + 3}} + 40\left( {n + 1} \right) - 3& \equiv 9\left( {{3^{2n + 1}} + 40n - 3} \right) - 360n + 27 + 40\left( {n + 1} \right) - 3\\& \equiv - 320n + 64\\& \equiv 0\left( {\bmod 64} \right),\end{split}\]因此命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
