求所有使得 $2p^2-3p-1$ 为完全立方数的质数 $p$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2,3$
【解析】
设 $2p^2-3p-1=a^3$，$a\in\mathbb N^*$，则$$p(2p-3)=(a+1)(a^2-a+1).$$情形一 当 $p\mid a+1$ 且 $ a^2-a+1 \mid 2p-3$ 时，有$$a^2-a+1\leqslant 2p-3\leqslant 2(a+1)-3, \text{即} a^2-3a+2\leqslant 0,$$解得 $a=1$ 或 $a=2$，对应的 $p=2$ 或 $p=3$，均符合题意．
情形二 当 $p\mid a^2-a+1$ 且 $a+1\mid 2p-3$ 时，设 $a^2-a+1=np$，$2p-3=n(a+1)$，且 $p\geqslant 5$．由于 $a=\dfrac{2p-3}n-1$，代入 $a^2-a+1=np$ 中整理得$$4p^2-(n^3+6n+12)p+3n^2+9n+9=0,$$于是 $p\mid n^2+3n+3$，设 $n^2+3n+3=mp$，此时有$$n^3+6n+12=4p+3m,$$容易验证当 $n=1,2,3,4,5,6$ 时不符合题意（此时 $p$ 的可能值为 $7,13,19,31,43$ 均不符合题意），因此 $n\geqslant 7$，此时有$$\begin{split} 4p+3m=&n^3+6n+12\\\geqslant &7n^2+6n+12\geqslant 5n^2+20n+12\\\geqslant &5(n^2+3n+3)=4pm+pm,\end{split} $$矛盾．
综上所述，所有符合条件的 $p$ 为 $2,3$．
综上所述，所有符合条件的 $p$ 为 $2,3$．
答案
解析
备注
