设 $n$ 是正整数，$x$ 是实数，则 $\left[\dfrac{[x]}{n}\right]=\left[\dfrac{x}{n}\right]$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由带余除法可知，存在唯一的整数 $q,r$，使得$$[x]=nq+r,$$其中 $0 \leqslant r\leqslant n-1$，故\[
\dfrac{[x]}{n}=q+\dfrac{r}{n}, 0\leqslant \dfrac{r}{n}\leqslant \dfrac{n-1}{n}<1,
\]因此 $\left[\dfrac{[x]}{n}\right]=q$．
另一方面，\[
\dfrac{x}{n}=\dfrac{[x]}{n}+\dfrac{\{x\}}{n}=q+\dfrac{\{x\}+r}{n},
\]注意到 $0\leqslant \dfrac{\{x\}+r}{n}<1$，故 $\left[\dfrac{x}{n}\right]=q$，所以 $\left[\dfrac{[x]}{n}\right]=\left[\dfrac{x}{n}\right]$．
\dfrac{[x]}{n}=q+\dfrac{r}{n}, 0\leqslant \dfrac{r}{n}\leqslant \dfrac{n-1}{n}<1,
\]因此 $\left[\dfrac{[x]}{n}\right]=q$．
另一方面，\[
\dfrac{x}{n}=\dfrac{[x]}{n}+\dfrac{\{x\}}{n}=q+\dfrac{\{x\}+r}{n},
\]注意到 $0\leqslant \dfrac{\{x\}+r}{n}<1$，故 $\left[\dfrac{x}{n}\right]=q$，所以 $\left[\dfrac{[x]}{n}\right]=\left[\dfrac{x}{n}\right]$．
答案
解析
备注
