一筐鸡蛋满足如下条件：
① $1$ 个 $1$ 个拿，正好拿完；
② $2$ 个 $2$ 个拿，还剩 $1$ 个；
③ $3$ 个 $3$ 个拿，正好拿完；
④ $4$ 个 $4$ 个拿，还剩 $1$ 个；
⑤ $5$ 个 $5$ 个拿，还差 $1$ 个；
⑥ $6$ 个 $6$ 个拿，还剩 $3$ 个；
⑦ $7$ 个 $7$ 个拿，正好拿完；
⑧ $8$ 个 $8$ 个拿，还剩 $1$ 个；
⑨ $9$ 个 $9$ 个拿，正好拿完，
问筐里最少有多少个鸡蛋？
① $1$ 个 $1$ 个拿，正好拿完；
② $2$ 个 $2$ 个拿，还剩 $1$ 个；
③ $3$ 个 $3$ 个拿，正好拿完；
④ $4$ 个 $4$ 个拿，还剩 $1$ 个；
⑤ $5$ 个 $5$ 个拿，还差 $1$ 个；
⑥ $6$ 个 $6$ 个拿，还剩 $3$ 个；
⑦ $7$ 个 $7$ 个拿，正好拿完；
⑧ $8$ 个 $8$ 个拿，还剩 $1$ 个；
⑨ $9$ 个 $9$ 个拿，正好拿完，
问筐里最少有多少个鸡蛋？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1499$
【解析】
此题即为求解同余方程组一$$\begin{split}
x&\equiv 0\pmod{9},\\
x&\equiv 1\pmod{8},\\
x&\equiv 0\pmod{7},\\
x&\equiv 4\pmod{5},\\
x&\equiv 3\pmod{6}.
\end{split}$$我们先求解同余方程组二$$\begin{split}x&\equiv 0\pmod{9},\\
x&\equiv 1\pmod{8},\\
x&\equiv 0\pmod{7},\\
x&\equiv 4\pmod{5}.
\end{split}$$用中国剩余定理里的记号，我们有\[\begin{split}b_1=0, b_2=1, b_3=0, b_4=4,\\
m_1=9, m_2=8, m_3=7, m_4=5, m=2520,\\
M_2=315, M_4=504,\\
M'_2=3, M'_4=4,
\end{split}\]故同余方程组二的解为\[x\equiv 315\cdot 3\cdot 1+504\cdot 4\cdot 4 \equiv 1449 \pmod{2520}.\]考虑到 $1449\equiv 3\pmod{6}$，$2520\equiv 0\pmod{6}$，故同余方程组一的所有正整数解为\[x=1449+2520n,\]其中 $n\in \mathbb{N}$．所以筐里最少有 $1449$ 个鸡蛋．
x&\equiv 0\pmod{9},\\
x&\equiv 1\pmod{8},\\
x&\equiv 0\pmod{7},\\
x&\equiv 4\pmod{5},\\
x&\equiv 3\pmod{6}.
\end{split}$$我们先求解同余方程组二$$\begin{split}x&\equiv 0\pmod{9},\\
x&\equiv 1\pmod{8},\\
x&\equiv 0\pmod{7},\\
x&\equiv 4\pmod{5}.
\end{split}$$用中国剩余定理里的记号，我们有\[\begin{split}b_1=0, b_2=1, b_3=0, b_4=4,\\
m_1=9, m_2=8, m_3=7, m_4=5, m=2520,\\
M_2=315, M_4=504,\\
M'_2=3, M'_4=4,
\end{split}\]故同余方程组二的解为\[x\equiv 315\cdot 3\cdot 1+504\cdot 4\cdot 4 \equiv 1449 \pmod{2520}.\]考虑到 $1449\equiv 3\pmod{6}$，$2520\equiv 0\pmod{6}$，故同余方程组一的所有正整数解为\[x=1449+2520n,\]其中 $n\in \mathbb{N}$．所以筐里最少有 $1449$ 个鸡蛋．
答案
解析
备注
