记 $U=\{1,2,\cdots ,100\}$．对数列 $\{a_n\}$（$n\in\mathbb N^*$）和 $U$ 的子集 $T$，若 $T=\varnothing$，定义 $S_T=0$；若 $T=\{t_1,t_2,\cdots ,t_k\}$，定义 $S_T=a_{t_1}+a_{t_2}+\cdots +a_{t_k}$．例如：$T=\{1,3,66\}$ 时，$S_T=a_1+a_3+a_{66}$．现设 $\{a_n\}$（$n\in\mathbb N^*$）是公比为 $3$ 的等比数列，且当 $T=\{2,4\}$ 时，$S_T=30$．
【难度】
【出处】
2016年高考江苏卷
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=3^{n-1}$（$n\in\mathbb N^*$）解析根据题意有$$3a_1+27a_1=30,$$从而$$a_1=1.$$因此所求通项公式为 $a_n=3^{n-1}$（$n\in\mathbb N^*$）．
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对任意正整数 $k$（$1\leqslant k\leqslant 100$），若 $T\subseteq\{1,2,\cdots ,k\}$，求证：$S_T<a_{k+1}$；标注答案略解析根据题意，有$$S_T\leqslant \sum_{i=1}^{k}a_i=\dfrac 12(3^k-1)<3^k=a_{k+1},$$因此命题得证．
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设 $C\subseteq U$，$D\subseteq U$，$S_C\geqslant S_D$，求证：$S_C+S_{C\cap D}\geqslant 2S_D$．标注答案略解析设集合 $A=\{x\mid x\in C,x\notin D\}$，集合 $B=\{ x\mid x\in D,x\notin C\}$，则$$S_C=S_A+S_{C\cap D},S_D=S_B+S_{C\cap D},$$因此条件即 $S_A\geqslant S_B$，而$$S_C+S_{C\cap D}-2S_D=S_A-2S_B,$$当 $B=\varnothing$ 时命题显然成立，接下来考虑 $B\neq \varnothing$ 的情形．
设此时集合 $A$ 中的最大元素为 $p$，集合 $B$ 中的最大元素为 $q$，则由于 $A$ 和 $B$ 没有公共元素，因此 $p\neq q$．情形一 $p<q$．
此时由第 $(2)$ 小题结论，有$$S_B\geqslant a_q>a_1+a_2+\cdots +a_{q-1}\geqslant S_A,$$矛盾．情形二 $p>q$．
此时与第 $(2)$ 小题的论证过程类似，有$$S_A\geqslant a_p=3^{p-1}>2\cdot \dfrac 12(3^{p-1}-1)\geqslant 2\cdot\dfrac 12(3^q-1)\geqslant 2S_B,$$因此有 $S_C+S_{C\cap D}-2S_D>0$，命题得证．
综上所述，原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
