重置
序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20627 5c8b1b50210b286d0745411d 高中 解答题 自招竞赛 令 ${{x}_{1}}\text{,}{{x}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{x}_{6}}$ 为非负实数，满足 ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{6}}\text{=}1$ 且 ${{x}_{1}}{{x}_{3}}{{x}_{5}}+{{x}_{2}}{{x}_{4}}{{x}_{6}}\geqslant \frac{1}{540}$ 。 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{4}}+{{x}_{3}}{{x}_{4}}{{x}_{5}}+{{x}_{4}}{{x}_{5}}{{x}_{6}}+{{x}_{5}}{{x}_{6}}{{x}_{1}}+{{x}_{6}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ 最大值为 $\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。 2022-04-17 20:31:01
20626 5c8b1b56210b286d125ef296 高中 解答题 自招竞赛 $\odot O$ 半径5，弦 $AB$ 长 $30$，弦 $CD$ 长 $14$，且 $AB,CD$ 相交于 $P$ 。两弦中点距离为 $12$ 。 $O{{P}^{2}}=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 模 $1000$ 的值。 2022-04-17 20:31:01
20625 5c8b1b5b210b286d125ef29c 高中 解答题 自招竞赛 ${{M}_{n}}$ 为满足以下条件的 $n\times n$ 矩阵：对 $1\leqslant i\leqslant n\text{,}{{m}_{i\text{,}i}}\text{=10;}$ 对 $1\leqslant i\leqslant n-1\text{,}{{m}_{i+1\text{,}i}}\text{=}{{m}_{i\text{,i}+1}}\text{=}3\text{;}$ 其余元素为 $0$ 。令 ${{D}_{n}}$ 为 ${{M}_{n}}$ 行列式的值。记 $\displaystyle \sum\limits_{n\text{=}1}^{\infty }{\frac{1}{8{{D}_{n}}+1}\text{=}}\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。 2022-04-17 20:30:01
20624 5c8b1b60210b286d07454123 高中 解答题 自招竞赛 现有三个不同国家，每个国家三人共九名代表。他们随机坐在圆桌的九个座位。记每个代表至少与一名来自不同国家代表相邻的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:30:01
20622 5c8b1b72210b286d125ef2ad 高中 解答题 自招竞赛 $P\left( x \right)\text{=}{{x}^{2}}-3x-9$，实数 $x$ 从区间 $5\leqslant x\leqslant 15$ 随机选取。 $\left[ \sqrt{P\left( x \right)} \right]\text{=}\sqrt{P\left( \left[ x \right] \right)}$ 的概率等于 $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-d}{e}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d\text{,}e$ 为正整数且没有平方因子。求 $a+b+c+d$ 。 2022-04-17 20:28:01
20619 5c8b1b6d210b286d125ef2a7 高中 解答题 自招竞赛 $N$ 为满足以下条件的 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}\cdots \text{,}30$ 的排列 $\left( {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{30}} \right)$ 的个数：对于 $m\in \left\{ 2\text{,}3\text{,}5 \right\}\text{,}\left. m \right|{{a}_{m+n}}-{{a}_{n}}\text{,}\forall n\text{,}1\leqslant n<n+m\leqslant 30$ 。求 $N$ 模 $1000$ 的值。 2022-04-17 20:28:01
20616 5c8efe4b210b286d125ef316 高中 解答题 自招竞赛 求满足下述条件的三位数 $abc$ 的个数：$a,b,c$ 不必须两两不同；$a\ne 0,c\ne 0$；$abc,cba$ 均为 $\text{4}$ 的倍数。 2022-04-17 20:26:01
20612 5c8efe8b210b286d125ef325 高中 解答题 自招竞赛 $B$ 是所有由 $5$ 个 $0$ 和 $8$ 个 $1$ 组成的二进制数集合（允许前若干位为零）。现对 $B$ 中两两元素做减法，求得到结果为 $1$ 的次数。 2022-04-17 20:23:01
20609 5c8efeb5210b286d125ef337 高中 解答题 自招竞赛 $S$ 为所有满足十进制下最后三位为 $256$ 的完全平方数的集合。 $T$ 是所有形如 $\frac{x-256}{1000}$ 的数的集合，其中 $x$ 为 $S$ 中元素。求 $T$ 中最小元素模 $\text{1000}$ 的值。 2022-04-17 20:22:01
20608 5c8efec5210b286d125ef341 高中 解答题 自招竞赛 直角三角形 $\Delta ABC$ 中直角顶点为 $C$ 。 $D,E$ 在边 $AB$ 上，其中 $D$ 在 $A,E$ 之间且满足 $CD,CE$ 三分 $\angle C$ 。如果 $\frac{DE}{BE}=\frac{8}{15}$，$\tan B$ 可以写作 $\frac{m\sqrt{p}}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是互质的正整数，$p$ 是没有平方因子的正整数。求 $m+n+p$ 。 2022-04-17 20:21:01
20607 5c8efecd210b286d125ef347 高中 解答题 自招竞赛 $3$ 个同心圆半径分别为 $345$ 。一个等边三角形三个顶点分别在三个圆周上，边长为 $s$ 。满足条件的等边三角形面积最大值可写作 $a+\frac{b}{c}\sqrt{d}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d$ 是正整数，$b\text{,}c$ 互质，$d$ 没有平方因子。求 $a+b+c+d$ 。 2022-04-17 20:21:01
20604 5c8f564e210b286d125ef382 高中 解答题 自招竞赛 求有序正整数对 $\left( m\text{,}n \right)$ 的个数，其中 $m\text{,}n$ 满足 $20m+12n\text{=}2012$ 2022-04-17 20:20:01
20601 5c8f5660210b286d125ef388 高中 解答题 自招竞赛 Ana，Bob，Cao分别以 $8.6m/s\text{,}6.2m/s\text{,}5m/s$ 的速度匀速骑行。他们同时从一矩形场地的东北角出发。该场地长边是东西向的。Ana向西出发并且沿场地边骑行，Bob向南出发沿场地边骑行，Cao沿直线向场地南侧边上一点 $D$ 骑行。Cao到达 $D$ 点时，恰好Ana和Bob也第一次到达 $D$ 点。场地的长、宽和点 $D$ 到场地东南角的距离之比可写作 $p\text{:}q\text{:}r$，其中 $p\text{,}q\text{,}r$ 是正整数且 $p\text{,}q$ 互质。求 $p+q+r$ 。 2022-04-17 20:19:01
20599 5c8f5672210b286d074541d1 高中 解答题 自招竞赛 $S$ 是所有二进制表示下恰好有 $8$ 个 $1$ 的正整数构成的单调递增数列。令 $N$ 为 $S$ 的第 $1000$ 项。求 $N$ 模 $1000$ 的值。 2022-04-17 20:18:01
20598 5c8f567d210b286d074541dc 高中 解答题 自招竞赛 实数 $x\text{,}y$ 满足 $\frac{\sin x}{\sin y}\text{=}3\text{,}\frac{\operatorname{cosx}}{\cos y}\text{=}\frac{1}{2}$ 。 $\frac{\sin 2x}{\sin 2y}+\frac{\cos 2x}{\cos 2y}$ 可表示为 $\frac{p}{q}$ 其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。 2022-04-17 20:18:01
20597 5c8f5682210b286d125ef394 高中 解答题 自招竞赛 求 $1000$ 以内满足下述条件的正整数 $n$ 的个数。对于 $n$，存在正实数 $x$，使得 $n\text{=}x\left[ x \right]$ 。（注：$\left[ x \right]$ 为不超过 $x$ 的最大整数） 2022-04-17 20:17:01
20596 5c8f5688210b286d125ef399 高中 解答题 自招竞赛 令 ${{f}_{1}}\left( x \right)\text{=}\frac{2}{3}-\frac{3}{3x+1}$，对 $n\geqslant 2$，${{f}_{n}}\left( x \right)\text{=}{{f}_{1}}\left( {{f}_{n-1}}\left( x \right) \right)$ 。使得 ${{f}_{1001}}\left( x \right)\text{=}x-3$ 的 $x$ 可表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:17:01
20595 5c8f568d210b286d074541e3 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $p$，我们称正整数 $n$ 为 $p-safe$ 的当 $n$ 和所有 $p$ 的倍数的差的绝对值大于 $2$ 。例如，$10-safe$ 的正整数集合为 $\left\{ 3\text{,}4\text{,}5\text{,}6\text{,}7\text{,13,14,15,16,17,23,}\cdots \right\}$ 。求不超过 $10000$ 同时满足 $7-safe\text{,}11-safe\text{,}13-safe$ 的正整数的个数。 2022-04-17 20:16:01
20592 5c8f56a3210b286d074541f5 高中 解答题 自招竞赛 三角形 $ABC$ 内接于圆 $\omega $，且 $AB=5,BC=7,AC=3$ 。 $\angle A$ 的角平分线与 $BC$ 相交于 $D$，与 $\omega $ 相交于 $E$ 。令 $\gamma $ 为以 $DE$ 为直径的圆。 $\omega \text{,}\gamma $ 的交点为 $E$ 和另一点 $F$ 。记 $A{{F}^{2}}=\frac{m}{n}$，$m\text{,}n$ 互质正整数。求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:15:01
20590 5c908720210b286d125ef3d3 高中 解答题 自招竞赛 求满足下述条件的 $5$ 位正整数 $n$：（a）$n$ 能被 $5$ 整除（b）$n$ 的首末数字相同（c）$n$ 的各位数字之和能被 $5$ 整除。 2022-04-17 20:14:01
0.204855s