直角三角形 $\Delta ABC$ 中直角顶点为 $C$ 。 $D,E$ 在边 $AB$ 上，其中 $D$ 在 $A,E$ 之间且满足 $CD,CE$ 三分 $\angle C$ 。如果 $\frac{DE}{BE}=\frac{8}{15}$，$\tan B$ 可以写作 $\frac{m\sqrt{p}}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是互质的正整数，$p$ 是没有平方因子的正整数。求 $m+n+p$ 。
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
018
【解析】
令 $CD\text{=}2a$ 。在 $\Delta CDB$ 由角平分线定理，$\frac{2a}{8}\text{=}\frac{CB}{15}$，所以 $CB=\frac{15a}{4}$ 。过 $D$ 作 $CB$ 的垂线 $F$，则 $CF=a\text{,}FD\text{=}a\sqrt{3}\text{,}FB\text{=}\frac{11a}{4}$，$\tan B\text{=}\frac{a\sqrt{3}}{\frac{11a}{4}}\text{=}\frac{4\sqrt{3}}{11}$ 。所求值为 $018$
答案
解析
备注
