$3$ 个同心圆半径分别为 $345$ 。一个等边三角形三个顶点分别在三个圆周上，边长为 $s$ 。满足条件的等边三角形面积最大值可写作 $a+\frac{b}{c}\sqrt{d}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d$ 是正整数，$b\text{,}c$ 互质，$d$ 没有平方因子。求 $a+b+c+d$ 。
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
041
【解析】
原题可等价表述为：等边三角形 $ABC$ 内部一点 $X$ 满足。 $AX=5,BX=4,CX=3$ 。 $X,C$ 分别绕 $A$ 逆时针旋转 ${{60}^{{}^\circ}}$ 得到 ${X}',{C}'$ 。于是 $\angle XA{X}'={{60}^{{}^\circ }},XA={X}'A=5$，所以 $X{X}'=5$ 。注意到 $XC=3.{X}'C=4$，于是 $\angle XC{X}'={{90}^{{}^\circ }}$ 。因为 $\angle ABC+\angle ACB={{120}^{{}^\circ }},\angle XCA+\angle XBA={{90}^{{}^\circ }}$，所以 $\angle XCB+\angle XBC={{30}^{{}^\circ}},\angle BXC={{150}^{{}^\circ }}$ 。在 $\Delta BXC$ 中，由余弦定理 $B{{C}^{2}}=B{{X}^{2}}+C{{X}^{2}}-2BX\cdot CX\cdot \cos {{150}^{{}^\circ }}\text{=}{{4}^{2}}+{{3}^{2}}-24\cdot\frac{-\sqrt{3}}{2}\text{=}25+12\sqrt{3}$，所以 $S\Delta ABC=B{{C}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{4}=25\frac{\sqrt{3}}{4}+9$，所求值为 $3+4+25+9=041$
答案
解析
备注
