$S$ 为所有满足十进制下最后三位为 $256$ 的完全平方数的集合。 $T$ 是所有形如 $\frac{x-256}{1000}$ 的数的集合，其中 $x$ 为 $S$ 中元素。求 $T$ 中最小元素模 $\text{1000}$ 的值。
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
170
【解析】
${{s}^{2}}-256\text{=}1000n$ 或 $\left( s+16 \right)\left( s-16 \right)\text{=}1000n$ 。为使 $\left(s+16 \right)\left( s-16 \right)$ 为 $1000$ 的倍数，$s+16\text{,}s-16$ 两者中恰有一个为 $125$ 的倍数，且二者均为 $4$ 的倍数。所以 $s+16\text{,}s-16$ 两者中有一个为 $500$ 的倍数，即 $s\text{=}500n\pm16\text{,}n\text{=}0\text{,}1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5$ 。第十个为 $500\cdot5-16\text{=}2484$，对应值为 $\frac{{{2484}^{2}}-256}{1000}\text{=}6170\to 170$
答案
解析
备注
