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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20756 5c75f0fa210b28428f14ccd5 高中 解答题 自招竞赛 圆 ${{C}_{1}} {{C}_{2}} {{C}_{3}}$ 的圆心分别为 $\left( 0 ,0 \right) \left( 12 ,0 \right) \left( 24, 0 \right)$，它们的半径分别为 $1 ,2, 4$ 。直线 ${{t}_{1}}$ 是圆 ${{C}_{1}}$ 和 ${{C}_{2}}$ 的斜率为正的内公切线，直线 ${{t}_{2}}$ 是圆 ${{C}_{2}}$ 和 ${{C}_{3}}$ 的斜率为负的内公切线，设直线 ${{t}_{1}}$ 和 ${{t}_{2}}$ 交于点 $\left( x,y \right)$，且 $x=q-p\sqrt{r}$，其中 $p ,q ,r$ 为正整数，且 $r$ 不能被任何素数的平方整除。试求 $p+q+r$ 的值。 2022-04-17 20:43:02
20753 5c75f117210b28428f14cce5 高中 解答题 自招竞赛 等边 $\vartriangle ABC$ 的外接圆半径为2。延长 $AB$ 到 $D$，使得 $AD=13$，延长 $AC$ 到 $E$，使得 $AE=11$ 。过 $D$ 作 $\vartriangle ABC$ 的平行线 ${{l}_{1}}$，过 $E$ 作 $AD$ 的平行线 ${{l}_{2}}$ 。设 $F$ 是 ${{l}_{1}}$ 与 ${{l}_{2}}$ 的交点，直线 $AF$ 交 $\vartriangle ABC$ 的外接圆于另一点 $G$ 。若 $\vartriangle CGB$ 的面积可以表示为 $\frac{p\sqrt{q}}{r}$，其中 $p q r$ 为正整数，$p$ 与 $r$ 互素，且 $q$ 不能被任何素数的平方整除，试求 $p+q+r$ 的值。 2022-04-17 20:42:02
20752 5c75f11f210b28428f14ccea 高中 解答题 自招竞赛 有多少个小于1000的正整数 $N$ 恰好可以写成5种不同的连续 $j$ 个正奇数的和的形式（其中 $j\geqslant 1$）？ 2022-04-17 20:41:02
20751 5c75f126210b284290fc2495 高中 解答题 自招竞赛 记 $S$ 。为从1到 ${{10}^{n}}$ 中所有整数中各个非零数字的倒数和，试求使得 ${{S}_{n}}$ 是整数的最小正整数 $n$ 。 2022-04-17 20:41:02
20750 5c75f12c210b28428f14ccf0 高中 解答题 自招竞赛 实数 $x y z$ 满足
$x=\sqrt{{{y}^{2}}-\frac{1}{16}}+\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{1}{16}}$，
$y\text{=}\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{1}{25}}+\sqrt{{{x}^{2}}-\frac{1}{25}}$，
$z=\sqrt{{{x}^{2}}-\frac{1}{36}}+\sqrt{{{y}^{2}}-\frac{1}{36}}$ 。
记 $x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}}$，其中 $m n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除，试求 $m+n$ 得值。		 2022-04-17 20:41:02
20749 5c75f994210b28428f14ccfd 高中 解答题 自招竞赛 在小于 ${{10}^{6}}$ 的正完全平方数中，有多少个是24的倍数？ 2022-04-17 20:40:02
20746 5c75f9b3210b28428f14cd0a 高中 解答题 自招竞赛 华氏温度 $F$ 和摄氏温度 $C$ 之间的换算公式为 $C=\frac{5}{9}\left( F-32 \right)$ 。对于一个整数度的华氏温度，先将其换算为摄氏温度，并近似到最近的整数温度，然后再换算为华氏温度，再近似到最近的整数温度。试问有多少满足 $32\leqslant T\leqslant 1000$ 的华氏温度 $T$ 经过这个变换后得到的温度还等于它本身？ 2022-04-17 20:38:02
20739 5c75fa19210b284290fc24c6 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABC$ 是一个等边三角形，$D$ 和 $F$ 分别是 $BC$ 和 $AB$ 上的点，并满足以 $FA=5$ 及 $CD=2$，点 $E$ 在边 $CA$ 以上，且满足 $\angle DEF={{60}^{\circ }}$ 。已知三角形 $DEF$ 的面积为 $14\sqrt{3}$ 。若边 $AB$ 长的两个可能值为 $p\pm q\sqrt{r}$，其中 $p$，$q$ 是有理数，$r$ 是一个不被任何素数的平方整除的整数。求 $r$ 。 2022-04-17 20:35:02
20737 5c75ffd8210b284290fc24d7 高中 解答题 自招竞赛 试求有以下性质的有序三元数组 $\left( a ,b ,c \right)$ 的个数，其中 $a$，$b$，$c$ 是正整数，$a$ 是 $b$，$c$ 的因数，且 $a+b+c=100$ 。 2022-04-17 20:34:02
20733 5c760004210b28428f14cd4a 高中 解答题 自招竞赛 对于实数 $x$，令 $\left\lfloor x \right\rfloor $ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。对于某个整数 $k$，恰有 $70$ 个能被 $k$ 整除的正整数 ${{n}_{1}}$，${{n}_{2}}$，…，${{n}_{70}}$，使得 $k=\left\lfloor {}^{3}\sqrt{{{n}_{1}}} \right\rfloor =\left\lfloor {}^{3}\sqrt{{{n}_{2}}} \right\rfloor =\ldots \left\lfloor {}^{3}\sqrt{{{n}_{70}}} \right\rfloor $ 。求 $\frac{{{n}_{i}}}{k}$ 的最大值 $\left( 1\leqslant i\leqslant 70 \right)$ 。 2022-04-17 20:32:02
20732 5c76000c210b28428f14cd4f 高中 解答题 自招竞赛 一张矩形纸片长 $4$ 个单元宽 $5$ 个单位。在纸片上画了若干条与边长平行的直线，由这些直线的交点组成的满足下面两个条件的矩形称为单位矩形：
（1）该矩形的四条边都是直线相交所截的线段；
（2）该矩形的内部没有其他线段。
已知所画直线在纸片上的总长度为 $2007$ 个单位，设 $N$ 为得到单位矩形数目的最大值，试求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。		 2022-04-17 20:31:02
20723 5c761a66210b284290fc2501 高中 解答题 自招竞赛 已知存在唯一的正整数对（$x$，$y$）满足方程 ${{x}^{2}}+84x+2008={{y}^{2}}$，求 $x+y$． 2022-04-17 20:25:02
20720 5c761a87210b284290fc2507 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{S}_{i}}$ 是满足条件 $100i\leqslant n100\left( i+1 \right)$ 的所有整数 $n$ 的集合，如 ${{S}_{4}}=\left\{ 400 ,401 ,\ldots ,499 \right\}$．
在集合 ${{S}_{0}}$，${{S}_{1}}$，…，${{S}_{999}}$ 中有多少个不包含完全平方数？		 2022-04-17 20:24:02
20717 5c761a9f210b28428f14cd97 高中 解答题 自招竞赛 在等腰梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，下底 $AD$ 上的底角是 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$，对角线长为 $10\sqrt{21}$．平面上一点 $E$ 满足 $EA=10\sqrt{7}$，$ED=30\sqrt{7}$．作 $CF\bot AD$ 于 $F$．线段 $EF$ 的长度可以表示为 $m\sqrt{n}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除．求 $m+n$． 2022-04-17 20:22:02
20714 5c761abb210b28428f14cda2 高中 解答题 自招竞赛 设 $p\left( x ,y \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}y+{{a}_{3}}{{x}^{2}}+{{a}_{4}}x{{y}^{2}}+{{a}_{5}}{{x}^{2}}+{{a}_{6}}{{x}^{3}}+{{a}_{7}}{{x}^{2}}y+{{a}_{8}}x{{y}^{2}}+{{a}_{9}}{{y}^{3}}$ 满足 $p\left( 0, 0 \right)$ $=p\left( 1 ,0 \right)=p\left( -1 ,0 \right)=p\left( 0 ,1 \right)=p\left( 0, -1 \right)=p\left( 1 ,1 \right)=p\left( 1 ,-1 \right)=p\left( 2 ,2 \right)=0$．存在点 $\left( \frac{a}{c}, \frac{b}{c} \right)$ 使得对所有满足上面性质的多项式 $p$ 都有 $p\left( \frac{a}{c} ,\frac{b}{c} \right)=0$，其中是正整数，且 $a$ 与 $c$ 互素，$c1$．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:20:02
20711 5c761fd0210b284290fc252e 高中 解答题 自招竞赛 设 $N={{100}^{2}}+{{99}^{2}}-{{98}^{2}}-{{97}^{2}}+{{96}^{2}}+\ldots +{{4}^{2}}+{{3}^{2}}-{{2}^{2}}-{{1}^{2}}$，其中加减号成对轮流出现，求 $N$ 除以1000的余数． 2022-04-17 20:18:02
20708 5c761fec210b284290fc253a 高中 解答题 自招竞赛 已知存在唯一一组 $r$ 个非负数 ${{n}_{1}}{{n}_{2}}\ldots {{n}_{r}}$ 和 $r $ 个整数 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{r}}$，其中每个 ${{a}_{k}}$ 的取值是1或 $-1$，使得 ${{a}_{1}}\times {{3}^{{{n}_{1}}}}+{{a}_{2}}\times {{3}^{{{n}_{2}}}}+\ldots +{{a}_{r}}\times {{3}^{{{n}_{r}}}}=2008$，求 ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+\ldots +{{n}_{r}}$ 的值． 2022-04-17 20:16:02
20700 5c7620a6210b28428f14cde6 高中 解答题 自招竞赛 设 $a$，$b$ 为正实数，且 $a\geqslant b$，设 $p$ 是 $\frac{a}{b}$ 的最大值，使得方程组
${{a}^{2}}+{{y}^{2}}={{b}^{2}}+{{x}^{2}}={{\left( a-x \right)}^{2}}+{{\left( b-y \right)}^{2}}$
有一解 $\left( x, y \right)$ 满足 $0\leqslant x\leqslant a$，$0\leqslant y\leqslant b$．${{p}^{2}}$ 可以写成分数 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$ 的值．		 2022-04-17 20:12:02
20699 5c7620ad210b284290fc254e 高中 解答题 自招竞赛 求出满足以下两个条件的最大正整数 $n$：
（1）${{n}^{2}}$ 可以表示成两个连续整数的立方之差；
（2）$2n+79$ 是平方数．		 2022-04-17 20:11:02
20698 5c763bfb210b28428f14cdf4 高中 解答题 自招竞赛 如果一个三位数的三个数字各不相同且从左到右是等比数列，就称其为“几何数”．求最大几何数与最小几何数的差． 2022-04-17 20:11:02
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