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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20811 5c74d630210b28428f14cbc2 高中 解答题 自招竞赛 试问：在 ${{2004}^{2004}}$ 的所有正因数中，有多少个数恰可被 $2004$ 个正整数整除？ 2022-04-17 20:14:03
20809 5c74d640210b284290fc2385 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 为所有介于 $1$ 与 ${{2}^{40}}$ 之间，且二进制表示式中恰有两个 $1$，其余为 $0$ 的整数组成的集合。从 $S$ 中随机取出一个数，设这个数被 $9$ 整除的概率为 $\frac{p}{q}$，其中 $p q$ 是互素的正整数。试求 $p+q$ 的值。 2022-04-17 20:12:03
20808 5c74d64d210b284290fc238c 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABCD$ 为等腰梯形，$AB=6 BC=DA=5 CD=4$ 。分别以 $A$ 和 $B$ 为圆心，$3$ 为半径各画一个圆；再以 $C$ 和 $D$ 为圆心，$2$ 为半径各画一个圆。在梯形内部有一个圆，它与上述的四个圆都相切。此圆的半径为 $\frac{-k+m\sqrt{n}}{p}$，其中 $k m n p$ 均为正整数，$n$ 不能被任何素数的平方整除，$k$ 和 $p$ 互素。试求 $k+m+n+p$ 的值。 2022-04-17 20:12:03
20806 5c74d65b210b28428f14cbd8 高中 解答题 自招竞赛 考虑一串 $n$ 个 $7$：$\underbrace{777\ldots 77}_{n7}$，在这些 $7$ 当中插入加号“+”，形成一个算式。例如 $7+77+777+7+7=875$，即是在八个 $7$ 中插入“+”运算后而得。试问有多少个这样的 $n$，可在 $n$ 个 $7$ 中插入“+”，使运算后的值为 $7000$？ 2022-04-17 20:12:03
20803 5c74dd82210b28428f14cbf2 高中 解答题 自招竞赛 对每个正整数 $k$，用 ${{S}_{k}}$ 表示首项为1公差为 $k$ 的等差数列，例如，${{S}_{3}}$ 为1，4，7，…，问：有多少个 $k$ 值使得2005在 ${{S}_{k}}$ 中？ 2022-04-17 20:10:03
20802 5c74dd92210b284290fc239e 高中 解答题 自招竞赛 正整数 $N$ 只有三个真因子，且每个真因子都小于50。问这样的 $N$ 一共有多少个（$N$ 的所有真因子就是除 $N$ 本身外的其他因子）？ 2022-04-17 20:09:03
20799 5c74ddbd210b284290fc23b4 高中 解答题 自招竞赛 方程 ${{2}^{333x-2}}+{{2}^{111x+2}}={{2}^{222x+1}}+1$ 有3个实根，它们的和为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是两个互素的正整数，求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:08:03
20795 5c74dde3210b28428f14cc0c 高中 解答题 自招竞赛 用 $\tau \left( n \right)$ 表示正整数 $n$ 的正因子（包括1和 $n$ 的个数）。例如，$\tau \left( 1 \right)=\text{1}$，$\tau \left( 6 \right)=\text{4}$ 。对正整数 $n$，定义 $S\left( n \right)=\tau \left( 1 \right)+\tau \left( 2 \right)+\ldots +\tau \left( n \right)$ 。对所有不超过2005的正整数 $n$，使得 $S\left( n \right)$ 为奇数的有 $a$ 个，$S\left( n \right)$ 为偶数的有 $b$ 个，求 $\left| a-b \right|$ 。 2022-04-17 20:05:03
20788 5c74ea3f210b28428f14cc32 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为正整数，且 ${{10}^{10}}$，${{15}^{7}}$，${{18}^{11}}$ 中至少有一个能被 $n$ 整除，求这样的 $n$ 的个数。 2022-04-17 20:02:03
20786 5c74ea6d210b28428f14cc43 高中 解答题 自招竞赛 $\odot {{C}_{1}}$，$\odot {{C}_{2}}$ 相外切，并同时内切于 $\odot {{C}_{3}}$，$\odot {{C}_{1}}$，$\odot {{C}_{2}}$ 的半径分别为4，10，且三个圆的圆心共线。 $\odot {{C}_{3}}$ 内的一条弦是的 $\odot {{C}_{1}}$，公切线，设这条弦长为 $\frac{m\sqrt{n}}{p}$，其中 $m$，$n$，$p$ 是正整数，$m$ 与 $n$ 互素，$n$ 不能被任何素数的平方整除，试求 $m+n+p$ 。 2022-04-17 20:01:03
20782 5c74ea93210b28428f14cc50 高中 解答题 自招竞赛 正方形 $ABCD$ 的中心为0，$AB=900$，点 $E$，$F$ 上，且 $AE<BF$，点 $E$ 在点 $A$，$F$ 之间，$\angle BOF={{45}^{\circ }}$，$EF=400$，设 $BF=p+q\sqrt{r}$，其中 $p$，$q$，$r$ 是正整数，$r$ 不能被任何素数的平方整除。试求 $p+q+r$ 。 2022-04-17 20:58:02
20781 5c74ea9c210b284290fc23ec 高中 解答题 自招竞赛 设 $P\left( x \right)$ 是整系数多项式，满足 $P\left( 17 \right)=10$，$P\left( 24 \right)=17$ 。若方程 $P\left( n \right)=n+3$ 有两个不同的整数解 ${{n}_{1}}$，${{n}_{2}}$，试求 ${{n}_{1}}{{n}_{2}}$ 。 2022-04-17 20:57:02
20777 5c74fe75210b284290fc241f 高中 解答题 自招竞赛 试找出去掉最左端的数字后所得的新数是原数的 $\frac{1}{29}$ 的最小正整数。 2022-04-17 20:55:02
20776 5c74fe7d210b284290fc2425 高中 解答题 自招竞赛 设 $M\text{=1!2!3}\ldots \text{99!100!}$，$N$ 是 $M$ 末位连续零的个数，试求 $N$ 被1000除所得的余数。 2022-04-17 20:55:02
20775 5c74fe86210b28428f14cc7e 高中 解答题 自招竞赛 实数 $\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}$ 可写成 $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}$ 的形成式，其中 $a, b, c$ 是正整数，试求 $abc$ 。 2022-04-17 20:54:02
20767 5c74fecd210b284290fc244f 高中 解答题 自招竞赛 对每个正偶数 $x$，定义 $g\left( x \right)$ 为 $x$ 的约数中2的最高次幂。例如，$g\left( 20 \right)=4$，$g\left( 16 \right)=16$ 。对任意正整数 $n$，记 $\displaystyle {{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{2n-1}{g}\left( 2k \right)$ 。试求小于1000且使的 ${{S}_{n}}$ 为完全平方数的最大正整数 $n$ 。 2022-04-17 20:49:02
20766 5c74fed4210b28428f14cc8a 高中 解答题 自招竞赛 三脚架每根支架5英尺长，当三脚架架起的时候，任三根支架所成的角相等，三脚架的顶端距地面4英尺，在一次架设的过程中，其中一根支架短了1英尺。令 $h$ 为损坏的三脚架架起时到地面的距离，已知 $h$ 可写成 $\frac{m}{\sqrt{n}}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任意素数的平方整除。试求 $\left\lfloor m+\sqrt{n} \right\rfloor $ 的值。（记 $\left\lfloor x \right\rfloor $ 为小于或等于 $x$ 的最大整数） 2022-04-17 20:48:02
20762 5c75f0b6210b28428f14ccbf 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 是前100个正奇数的乘积，试找出满足 ${{3}^{k}}$ 整除 $p$ 的最大整数 $k$ 。 2022-04-17 20:46:02
20759 5c75f0d5210b28428f14cccf 高中 解答题 自招竞赛 正方形就 $ABCD$ 的边长为1，点 $E F$ 分别在 $BC CD$ 边上，且 $\vartriangle AEF$ 是等边三角形。另有一小正方形以 $B$ 为顶点，各边分别与 $ABCD$ 的各边平行，且有一顶点在线段 $AE$ 上，若小正方形的边长为 $\frac{a-\sqrt{b}}{c}$，其中 $a b c$ 均为正整数，且 $b$ 不能被任何素数的平方整除。试求 $a+b+c$ 的值。 2022-04-17 20:45:02
20758 5c75f0e6210b284290fc2485 高中 解答题 自招竞赛 试求一共有多少个有序正整数对 $\left( a,b \right)$ 使得 $a+b=\text{1}000$，并且 $a$ 和 $b$ 的十进制表达式中均不出现数字0？ 2022-04-17 20:44:02
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