用 $\tau \left( n \right)$ 表示正整数 $n$ 的正因子（包括1和 $n$ 的个数）。例如，$\tau \left( 1 \right)=\text{1}$，$\tau \left( 6 \right)=\text{4}$ 。对正整数 $n$，定义 $S\left( n \right)=\tau \left( 1 \right)+\tau \left( 2 \right)+\ldots +\tau \left( n \right)$ 。对所有不超过2005的正整数 $n$，使得 $S\left( n \right)$ 为奇数的有 $a$ 个，$S\left( n \right)$ 为偶数的有 $b$ 个，求 $\left| a-b \right|$ 。
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
25
【解析】
当且仅当 $n$ 为完全平方数时，$\Gamma \left( n\right)\equiv 1\left( \bmod 2 \right)$，从而每个完全平方数都会改变 $S\left( n \right)$ 的奇偶性，故对任意正整数 $k$ 有
$S\left( {{\left( 2k-1\right)}^{2}} \right)\equiv S\left( {{\left( 2k-1 \right)}^{2}}+1 \right)\equiv\ldots \equiv S\left( {{\left( 2k \right)}^{2}}-1 \right)\equiv 1\left( \bmod 2\right)$ 。
$S\left( {{\left( 2k \right)}^{2}}\right)\equiv S\left( {{\left( 2k \right)}^{2}}+1 \right)\equiv \ldots \equiv S\left( {{\left( 2k+1 \right)}^{2}}-1 \right)\equiv 0\left( \bmod 2 \right)$ 。
在 $S\left( 1 \right)$，$S\left(2 \right)$，…，$S\left( {{44}^{2}}-1\right)=S\left( 1935 \right)$ 中有
$\left( {{2}^{2}}-{{1}^{2}}\right)+\left( {{4}^{2}}-{{3}^{2}} \right)+\ldots +\left( {{44}^{2}}-{{43}^{2}}\right)$
$=1+2+3+4+\ldots +43+44=990$
个奇数，有
$\left( {{3}^{2}}-{{2}^{2}}\right)+\left( {{5}^{2}}-{{4}^{2}} \right)+\ldots +\left( {{43}^{2}}-{{42}^{2}}\right)$
$=2+3+4+5+\ldots +42+43=945$
个偶数，另外，$S\left( 1936 \right)$，$S\left(1937 \right)$，…，$S\left( 2005 \right)$ 都是偶数，故 $a=990$，$b=945+70=1015$，$\left|a-b \right|=25$ 。
$S\left( {{\left( 2k-1\right)}^{2}} \right)\equiv S\left( {{\left( 2k-1 \right)}^{2}}+1 \right)\equiv\ldots \equiv S\left( {{\left( 2k \right)}^{2}}-1 \right)\equiv 1\left( \bmod 2\right)$ 。
$S\left( {{\left( 2k \right)}^{2}}\right)\equiv S\left( {{\left( 2k \right)}^{2}}+1 \right)\equiv \ldots \equiv S\left( {{\left( 2k+1 \right)}^{2}}-1 \right)\equiv 0\left( \bmod 2 \right)$ 。
在 $S\left( 1 \right)$，$S\left(2 \right)$，…，$S\left( {{44}^{2}}-1\right)=S\left( 1935 \right)$ 中有
$\left( {{2}^{2}}-{{1}^{2}}\right)+\left( {{4}^{2}}-{{3}^{2}} \right)+\ldots +\left( {{44}^{2}}-{{43}^{2}}\right)$
$=1+2+3+4+\ldots +43+44=990$
个奇数，有
$\left( {{3}^{2}}-{{2}^{2}}\right)+\left( {{5}^{2}}-{{4}^{2}} \right)+\ldots +\left( {{43}^{2}}-{{42}^{2}}\right)$
$=2+3+4+5+\ldots +42+43=945$
个偶数，另外，$S\left( 1936 \right)$，$S\left(1937 \right)$，…，$S\left( 2005 \right)$ 都是偶数，故 $a=990$，$b=945+70=1015$，$\left|a-b \right|=25$ 。
答案
解析
备注
