设 $P\left( x \right)$ 是整系数多项式，满足 $P\left( 17 \right)=10$，$P\left( 24 \right)=17$ 。若方程 $P\left( n \right)=n+3$ 有两个不同的整数解 ${{n}_{1}}$，${{n}_{2}}$，试求 ${{n}_{1}}{{n}_{2}}$ 。
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
418
【解析】
由题意可知 $P\left( 17\right)-17=-7$，$P\left( 24 \right)-24=-7$，即多项式 $P\left(n \right)-n+7=0$ 有两个根，分别是 $17,24$，因此存在一个整系数多项式 $Q\left( x \right)$，使得
$Q\left(n \right)\left( n-17 \right)\left( n-24 \right)=P\left( n \right)-n+7=\left( P\left(n \right)-n-3 \right)+10$ 。
由题意可知 $P\left( n \right)-n-3=0$ 有两个整数解 ${{n}_{1}}$，${{n}_{2}}$ 。故当 $n={{n}_{1}}$，时有
$Q\left( n\right)\left( n-17 \right)\left( N-24 \right)=10$ 。
因此，${{n}_{1}}-17,{{n}_{1}}-24,{{n}_{2}}-17,{{n}_{2}}-24$ 都是 $10$ 的约数（可为负数）且 ${{n}_{1}}-17$ 与 ${{n}_{1}}-24$（或 ${{n}_{2}}-17$ 与 ${{n}_{2}}-24$）的差为 $7$，因为 $10$ 的约数有 $1,2,5,10$，$-1$，$-2$，$-5$，$-10$，只有 $2$ 与 $-5$ 或 $-2$ 与5满足条件，即 ${{n}_{1}}-17=2$，${{n}_{1}}-24=-5$，${{n}_{2}}-17=-2$，${{n}_{2}}-24=-2$，解得 ${{n}_{1}}=19$，${{n}_{2}}=22$ 。 ${{n}_{1}}{{n}_{2}}=19\times22=418$ 。
（或 ${{n}_{1}}-17=5$，${{n}_{1}}-24=-2$，${{n}_{2}}-17=2$，${{n}_{2}}-24=-5$，解方程后得到相同的解。）
$Q\left(n \right)\left( n-17 \right)\left( n-24 \right)=P\left( n \right)-n+7=\left( P\left(n \right)-n-3 \right)+10$ 。
由题意可知 $P\left( n \right)-n-3=0$ 有两个整数解 ${{n}_{1}}$，${{n}_{2}}$ 。故当 $n={{n}_{1}}$，时有
$Q\left( n\right)\left( n-17 \right)\left( N-24 \right)=10$ 。
因此，${{n}_{1}}-17,{{n}_{1}}-24,{{n}_{2}}-17,{{n}_{2}}-24$ 都是 $10$ 的约数（可为负数）且 ${{n}_{1}}-17$ 与 ${{n}_{1}}-24$（或 ${{n}_{2}}-17$ 与 ${{n}_{2}}-24$）的差为 $7$，因为 $10$ 的约数有 $1,2,5,10$，$-1$，$-2$，$-5$，$-10$，只有 $2$ 与 $-5$ 或 $-2$ 与5满足条件，即 ${{n}_{1}}-17=2$，${{n}_{1}}-24=-5$，${{n}_{2}}-17=-2$，${{n}_{2}}-24=-2$，解得 ${{n}_{1}}=19$，${{n}_{2}}=22$ 。 ${{n}_{1}}{{n}_{2}}=19\times22=418$ 。
（或 ${{n}_{1}}-17=5$，${{n}_{1}}-24=-2$，${{n}_{2}}-17=2$，${{n}_{2}}-24=-5$，解方程后得到相同的解。）
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