设 $n$ 为正整数，且 ${{10}^{10}}$，${{15}^{7}}$，${{18}^{11}}$ 中至少有一个能被 $n$ 整除，求这样的 $n$ 的个数。
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
435
【解析】
因为 ${{10}^{10}}={{2}^{10}}\times{{5}^{10}}$，${{15}^{7}}={{3}^{7}}\times{{5}^{7}}$，${{18}^{11}}={{2}^{11}}\times{{3}^{22}}$ 可知这三个数分别有121，64，276个约数。
又因为 $\left( {{10}^{10}},{{15}^{7}}\right)={{5}^{7}},\left( {{10}^{10}},{{18}^{11}} \right)={{2}^{10}},\left( {{15}^{7}} {{18}^{11}} \right)={{3}^{7}}$，可知这三对数分别有 $8,11,8$ 个公因子。
这三个数不存在公共的素因子，因此有且只有1是这三个数的公因子。
因此，正整数打的个数是 $\left( 121+64+276 \right)-\left(8+11+8 \right)+1=435$ 。
又因为 $\left( {{10}^{10}},{{15}^{7}}\right)={{5}^{7}},\left( {{10}^{10}},{{18}^{11}} \right)={{2}^{10}},\left( {{15}^{7}} {{18}^{11}} \right)={{3}^{7}}$，可知这三对数分别有 $8,11,8$ 个公因子。
这三个数不存在公共的素因子，因此有且只有1是这三个数的公因子。
因此，正整数打的个数是 $\left( 121+64+276 \right)-\left(8+11+8 \right)+1=435$ 。
答案
解析
备注
