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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27297 590bd2c86cddca00092f70ee 高中 解答题 自招竞赛 证明：$\tan {3^\circ}$ 是无理数． 2022-04-17 21:54:02
27237 590bf084d42ca70008537545 高中 解答题 自招竞赛 若 $a$ 为正整数而 $\sqrt a$ 不为整数，证明：$\sqrt a$ 为无理数． 2022-04-17 21:24:02
27236 590bf09ed42ca70008537548 高中 解答题 自招竞赛 试证：除 $0,0,0$ 外，没有其他整数 $m,n,p$ 使得\[m+n\sqrt2+p\sqrt3=0.\] 2022-04-17 21:24:02
26421 5927d80e50ce8400087afa4a 高中 解答题 高考真题 在数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 和 $\left\{ {b_n}\right\} $ 中，${a_n} = {a^n}$，${b_n} = \left(a + 1\right)n + b$，$n = 1 , 2 , 3 , \cdots $，其中 $a \geqslant 2$ 且 $a \in {{\mathbb{N}}^*}$，$b \in {\mathbb{R}}$． 2022-04-17 20:48:54
26370 5927da2f50ce840009d7709c 高中 解答题 高考真题 已知 $ \triangle ABC $ 的三边长为有理数． 2022-04-17 20:19:54
25870 597071e4dbbeff000706d371 高中 解答题 高中习题 平面直角坐标系内，若一个圆的圆心的横坐标和纵坐标均为无理数，求证：该圆上不可能存在 $3$ 个整点． 2022-04-17 20:53:49
25869 5970714adbbeff000aeab88f 高中 解答题 高中习题 证明：$\tan 1^\circ$ 为无理数． 2022-04-17 20:53:49
25774 597e833ed05b90000addb26f 高中 解答题 高中习题 证明：如果整系数二次方程 $a{x^2} + bx + c = 0$ 存在有理根，那么 $a , b , c$ 三个数中至少有一个是偶数． 2022-04-17 20:59:48
25716 597071abdbbeff0009d29f7a 高中 解答题 高中习题 是否存在实数 $x$ 使 $\tan x + \sqrt 3 $ 与 $\cot x + \sqrt 3 $ 均为有理数？ 2022-04-17 20:29:48
25508 590996cd38b6b400091f001f 高中 解答题 自招竞赛 对于任意给定的无理数 $a,b$ 及实数 $r>0$，证明：圆周 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上至多有两个有理点（指横纵坐标均为有理数的点）． 2022-04-17 20:35:46
23860 59084e47060a05000980b0b8 高中 解答题 高中习题 已知等差数列 $\{a_n\}$ 中包含 $1$ 和 $\sqrt 2$，求证：数列 $\{a_n\}$ 中的任意不同三项不能构成等比数列． 2022-04-17 20:27:31
23061 590c243c857b420007d3e4c6 高中 解答题 高中习题 非负有理数列 $A_1,A_2,A_3,\cdots$ 满足 $\forall m,n\in\mathbb N^*,A_m+A_n=A_{mn}$，证明：该数列中必然存在相同的数． 2022-04-17 20:04:24
22364 59af884b984a1c000a04bf70 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\omega$ 是整系数方程 $x^2+ax+b=0$ 的一个无理根，求证：存在常数 $C>0$，使得对任意互质的正整数 $p,q$，均有 $\left|\omega-\dfrac pq\right|\geqslant \dfrac{C}{q^2}$． 2022-04-17 20:33:17
22355 59707176dbbeff000aeab893 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a , b , c$ 都是有理数，$\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c $ 也是有理数，证明：$\sqrt a , \sqrt b , \sqrt c $ 都是有理数． 2022-04-17 20:29:17
22225 596047d33cafba000ac43c78 高中 解答题 自招竞赛 求证：当 $p,q$ 都为奇数时，若方程 $x^2-2px+2q=0$ 有实数根，则该方程的根必为无理数． 2022-04-17 20:16:16
21442 5a71da639bb0f20009089f5a 高中 解答题 高中习题 已知 $a , b , c$ 都是有理数，$\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c $ 也是有理数，证明：$\sqrt a , \sqrt b , \sqrt c $ 都是有理数． 2022-04-17 20:04:09
21424 5a71dafb9bb0f20009089f5f 高中 解答题 高中习题 已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$，求证：$\sqrt 1+\sqrt 2+\sqrt 3+\cdots +\sqrt n$ 是无理数． 2022-04-17 20:51:08
21129 5c6a2216210b281db9f4c6ef 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，一个圆的两弦相交，其中 $B$ 在 $\overset\frown{AD}$ 小弧上，设圆半径是5，$BC=6$，$AD$ 被 $BC$ 等分．又设从 $A$ 出发的弦只有 $AD$ 能被 $BC$ 等分，这样可以知道 $AB$ 小弧对应的圆心角的正弦是一个有理数．如果把这个有理数化成既约分数 $\frac{m}{n}$，求 $mn$． 2022-04-17 20:09:06
21117 5c6a44db210b281dbaa93376 高中 解答题 自招竞赛 在某一个圆中长度为2，3，4的平行弦分别对应于圆心角 $\alpha $，$\beta $，$\alpha +\beta $，其中 $\alpha +\beta <\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$．如果把 $\cos \alpha $（这是一个正有理数）化成既约（最简）分数，问分子和分母之和是多少？ 2022-04-17 20:02:06
21059 5c6bab70210b281dbaa934b1 高中 解答题 自招竞赛 给定一个有理数，将它写成最简分数的形式并计算这时分子与分母的乘积．试问在0和1之间有多少个有理数按上面方式得到的乘积恰好是20！？ 2022-04-17 20:29:05
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