非负有理数列 $A_1,A_2,A_3,\cdots$ 满足 $\forall m,n\in\mathbb N^*,A_m+A_n=A_{mn}$，证明：该数列中必然存在相同的数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法．若不然，则令 $m=n=1$，根据已知有$$A_1+A_1=A_1,$$于是$$A_1=0,$$因此数列中其余各项均不为 $0$．
令 $A_2=\dfrac pq$，$A_3=\dfrac rs$，则由题中条件可知$$A_{m^k}=kA_m,$$于是$$A_{2^{qr}}=qr\cdot\dfrac pq=pr=ps\cdot\dfrac rs=A_{3^{ps}},$$但是 $2^{qr}\neq 3^{ps}$，矛盾．
因此原命题得证．
令 $A_2=\dfrac pq$，$A_3=\dfrac rs$，则由题中条件可知$$A_{m^k}=kA_m,$$于是$$A_{2^{qr}}=qr\cdot\dfrac pq=pr=ps\cdot\dfrac rs=A_{3^{ps}},$$但是 $2^{qr}\neq 3^{ps}$，矛盾．
因此原命题得证．
答案
解析
备注
