已知 $\omega$ 是整系数方程 $x^2+ax+b=0$ 的一个无理根，求证：存在常数 $C>0$，使得对任意互质的正整数 $p,q$，均有 $\left|\omega-\dfrac pq\right|\geqslant \dfrac{C}{q^2}$．
【难度】
【出处】
2017年北京大学夏令营数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
问题即\[\left|\dfrac{-a+\sqrt{a^2-4b}}2-\dfrac pq\right|\geqslant \dfrac {C}{q^2}\land \left|\dfrac{-a-\sqrt{a^2-4b}}2-\dfrac pq\right|\geqslant \dfrac {C}{q^2},\]也即\[\left|\sqrt{a^2-4b}-\dfrac{2p+aq}q\right|\geqslant \dfrac{2C}{q^2}\land \left|\sqrt{a^2-4b}+\dfrac{2p+aq}q\right|\geqslant \dfrac{2C}{q^2}.\]于是问题转化为存在常数 $C>0$，使得对任意互质的整数 $p,q$，$q>0$，均有\[\left|\sqrt n-\dfrac pq\right|\geqslant \dfrac{2C}{q^2},\]其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $\sqrt n$ 是无理数．
由于 $\sqrt n$ 是无理数，设\[\dfrac kq<\sqrt n<\dfrac{k+1}q,k\in\mathbb N,\]则\[k^2+1\leqslant nq^2\leqslant (k+1)^2-1,\]于是\[\left|n-\dfrac {k^2}{q^2}\right|,\left|n-\dfrac{(k+1)^2}{q^2}\right|\geqslant \dfrac{1}{q^2},\]于是\[\dfrac 1{q^2}\leqslant \left|n-\dfrac{k^2}{q^2}\right|=\left|\sqrt n-\dfrac kq\right|\cdot \left|\sqrt n+\dfrac kq\right|\leqslant \left|\sqrt n-\dfrac kq\right|\cdot 2\sqrt n,\]且\[\dfrac 1{q^2}\leqslant \left|n-\dfrac{(k+1)^2}{q^2}\right|=\left|\sqrt n-\dfrac {k+1}q\right|\cdot \left|\sqrt n+\dfrac {k+1}q\right|\leqslant \left|\sqrt n-\dfrac {k+1}q\right|\cdot \left(2\sqrt n+1\right),\]因此\[\left|\sqrt n-\dfrac pq\right|\geqslant \min\left\{\left|\sqrt{n}-\dfrac kq\right|,\left|\sqrt n-\dfrac {k+1}q\right|\right\}\geqslant \dfrac{1}{q^2}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt n+1},\]也即取\[C=\dfrac{1}{4\sqrt n+2}=\dfrac{1}{4\sqrt{a^2-4b}+2}\]即可．
由于 $\sqrt n$ 是无理数，设\[\dfrac kq<\sqrt n<\dfrac{k+1}q,k\in\mathbb N,\]则\[k^2+1\leqslant nq^2\leqslant (k+1)^2-1,\]于是\[\left|n-\dfrac {k^2}{q^2}\right|,\left|n-\dfrac{(k+1)^2}{q^2}\right|\geqslant \dfrac{1}{q^2},\]于是\[\dfrac 1{q^2}\leqslant \left|n-\dfrac{k^2}{q^2}\right|=\left|\sqrt n-\dfrac kq\right|\cdot \left|\sqrt n+\dfrac kq\right|\leqslant \left|\sqrt n-\dfrac kq\right|\cdot 2\sqrt n,\]且\[\dfrac 1{q^2}\leqslant \left|n-\dfrac{(k+1)^2}{q^2}\right|=\left|\sqrt n-\dfrac {k+1}q\right|\cdot \left|\sqrt n+\dfrac {k+1}q\right|\leqslant \left|\sqrt n-\dfrac {k+1}q\right|\cdot \left(2\sqrt n+1\right),\]因此\[\left|\sqrt n-\dfrac pq\right|\geqslant \min\left\{\left|\sqrt{n}-\dfrac kq\right|,\left|\sqrt n-\dfrac {k+1}q\right|\right\}\geqslant \dfrac{1}{q^2}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt n+1},\]也即取\[C=\dfrac{1}{4\sqrt n+2}=\dfrac{1}{4\sqrt{a^2-4b}+2}\]即可．
答案
解析
备注
