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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15377 598917ec5ed01a000ba75cca 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac{12}{11}$，$a_{n+1}=\dfrac{4a_n}{2a_n+1}$，$n=1,2,\cdots$． 2022-04-17 19:05:13
15318 59b73411b049650008cb66fb 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 定义为 $a_1=1$，$$a_{n+1}=\begin{cases}a_n+n,&a_n\leqslant n,\\a_n-n,&a_n>n,\end{cases}n=1,2,\cdots.$$求满足 $a_r<r\leqslant3^{2017}$ 的正整数 $r$ 的个数． 2022-04-17 19:35:12
15314 59ba35d398483e0009c73146 高中 解答题 高中习题 设 $a_1>\dfrac{1}{12}$，且 $a_{n+1}=\sqrt{(n+2)a_n+1}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$． 2022-04-17 19:32:12
15313 59ba41b698483e000a5244cb 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n^2}$（$n\in\mathbb N$）． 2022-04-17 19:32:12
15279 5a59a73b1ccf880007caa4b0 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$，求证：当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\sqrt{2n+\dfrac 13\ln (n-1)}\leqslant a_n\leqslant \sqrt{2n+\dfrac 12\ln (n-1)}.\] 2022-04-17 19:15:12
15277 5a7038119bb0f20008eafcbe 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=8$，$a_{n+1}=\dfrac 12a_{n}^2-4$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:14:12
15269 5c6a3efd210b281dbaa93352 高中 解答题 自招竞赛 求 $10\cot \left( \text{arc}\cot 3+\text{arc}\cot 7+\text{arc}\cot 13+\text{arc}\cot 21 \right)$ 的值． 2022-04-17 19:10:12
15267 5c6a44a9210b281dbaa93367 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{x}_{1}}=97$，对于 $n>1$，令 ${{x}_{n}}=\frac{n}{{{x}_{n-1}}}$，求连乘积 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\cdots {{x}_{8}}$． 2022-04-17 19:09:12
15264 5c6a44bf210b281db9f4c741 高中 解答题 自招竞赛 选定整数序数 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…，使得 ${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}-{{a}_{n-2}}$，其中 $n\geqslant 3$．如果前1492项的和是1985，而前1985项的和是1492，那么前2001项的和是多少？ 2022-04-17 19:07:12
15246 5c6a74d0210b281db9f4c830 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 是 $\left\{ 1, 2 ,3 ,\cdots ,1989 \right\}$ 的一个子集，$S$ 中没有两个元素相差4或7，$S$ 最多能有几个元素？ 2022-04-17 19:58:11
15244 5c6babee210b281db9f4c8c8 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $n$，定义 ${{S}_{n}}$ 为和式 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\sqrt{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}+a_{k}^{2}}}$ 的最小值，其中 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{n}}$ 为正实数，它们的和为17．已知有唯一的正整数 $n$，使 ${{S}_{n}}$ 也为整数，求 $n$． 2022-04-17 19:57:11
15241 5c6e0883210b281dbaa93581 高中 解答题 自招竞赛 已知方程 ${{x}^{10}}+{{\left( 13x-1 \right)}^{10}}=0$ 有10个复根 ${{r}_{1}}$，$\overline{{{r}_{1}}}$，${{r}_{2}}$，$\overline{{{r}_{2}}}$，${{r}_{3}}$，$\overline{{{r}_{3}}}$，${{r}_{4}}$，$\overline{{{r}_{4}}}$，${{r}_{5}}$，$\overline{{{r}_{5}}}$，${{r}_{i}}$ 与 $\overline{{{r}_{i}}}\left( i=1 2 3 4 5 \right)$ 互为共轭复根．求 $\frac{1}{{{r}_{1}}\overline{{{r}_{1}}}}+\frac{1}{{{r}_{2}}\overline{{{r}_{2}}}}+\frac{1}{{{r}_{3}}\overline{{{r}_{3}}}}+\frac{1}{{{r}_{4}}\overline{{{r}_{4}}}}+\frac{1}{{{r}_{5}}\overline{{{r}_{5}}}}$ 的值． 2022-04-17 19:55:11
15237 5c6e3bc9210b281db9f4ca55 高中 解答题 自招竞赛 一个心烦的学生走过一个大厅，大厅中有一排关着的柜子，柜子从1到1024编号，他打开1号柜之后朝前走，交替地不碰动或者打开每一个关着的柜子．当他走到大厅的末端，他转过身重新往回走，他打开遇到的第一个关着的柜子，跳过第二个关着的柜子，打开第三个关着的柜子……这学生按这方式来来回回走来走去，直到每个柜子都打开，他打开的最后一个柜子的号码是什么？ 2022-04-17 19:52:11
15234 5c6f6323210b280151d749d0 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{35}{\sin 5k=\tan \frac{m}{n}}$，这里角的单位为度，$m$，$n$ 为互素的正整数且满足 $\frac{m}{n}<90$．求 $m+n$． 2022-04-17 19:51:11
15231 5c6fb654210b28428f14c959 高中 解答题 自招竞赛 试求最接近 $\displaystyle 1000\sum\limits_{n=3}^{10000}{\frac{1}{{{n}^{2}}-4}}$ 的整数值． 2022-04-17 19:49:11
15230 5c6fb678210b28428f14c975 高中 解答题 自招竞赛 两个不同的无穷等比级数（各项均为实数），每个级数的各项之和等于1．两级数的第二项相同，且均可表示成 $\frac{\sqrt{m}-n}{p}$ 的形式，$m$，$n$，$p$ 为正整数，且 $m$ 不被任何素数的平方整除，其中一个级数的第三项等于 $\frac{1}{8}$．试求 $100m+10n+p$ 的值． 2022-04-17 19:49:11
15228 5c74aba2210b28428f14cb34 高中 解答题 自招竞赛 给定多项式 $P\left( x \right)={{x}^{6}}-{{x}^{5}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x$，$Q\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-1$，设 ${{z}_{1}} {{z}_{2}} {{z}_{3}} {{z}_{4}}$ 为 $Q\left( x \right)=0$ 的根，求 $P\left( {{z}_{1}} \right)+P\left( {{z}_{2}} \right)+P\left( {{z}_{3}} \right)+P\left( {{z}_{4}} \right)$． 2022-04-17 19:48:11
15227 5c74abd3210b284290fc22d0 高中 解答题 自招竞赛 令 $\displaystyle P\left( x \right)=24{{x}^{24}}+\sum\limits_{j=1}^{23}{\left( 24-j \right)\left( {{x}^{24-j}}+{{x}^{24+i}} \right)}$，设 ${{z}_{1}} {{z}_{2}} {{z}_{3}} \cdots {{z}_{r}}$ 为 $P\left( x \right)$ 所有不同的根．令 ${{z}_{k}}^{2}={{a}_{k}}+i{{b}_{k}}$，其中 $k=1 2 \cdots r$，$i=\sqrt{-1} {{a}_{k}} {{b}_{k}}$ 为实数．若 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{r}{\left| {{b}_{k}} \right|}=m+n\sqrt{p}$，其中 $m n p$ 为整数，$p$ 不能被任何素数的平方整除，求 $m+n+p$． 2022-04-17 19:47:11
15226 5c74b7f5210b284290fc2312 高中 解答题 自招竞赛 设 $m$ 是一个正整数，集合 $A$ 由总和为 $2m$ 的 $m$ 个连续的整数构成，集合 $B$ 由总和为 $m$ 的 $2m$ 个连续的整数构成。已知集合 $A$ 中最大元素与集合 $B$ 中最大元素之差的绝对值是 $99$，求 $m$ 。 2022-04-17 19:47:11
15224 5c74b811210b28428f14cb81 高中 解答题 自招竞赛 乘积式 $\left( 1-x \right)\left( 1+2x \right)\left( 1-3x \right)\ldots \left( 1+14x \right)\left( 1-15x \right)$ 的展开式中 ${{x}^{2}}$ 项系数为 $C$，求 $\left| C \right|$ 。 2022-04-17 19:46:11
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