一个心烦的学生走过一个大厅，大厅中有一排关着的柜子，柜子从1到1024编号，他打开1号柜之后朝前走，交替地不碰动或者打开每一个关着的柜子．当他走到大厅的末端，他转过身重新往回走，他打开遇到的第一个关着的柜子，跳过第二个关着的柜子，打开第三个关着的柜子……这学生按这方式来来回回走来走去，直到每个柜子都打开，他打开的最后一个柜子的号码是什么？
【难度】
【出处】
1996年第14届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
342
【解析】
考虑更为一般的情形，将1024改为 ${{2}^{n}}$（$n$ 为自然数），并记相应的答案为 ${{L}_{n}}$．
对1，2，…，${{2}^{n+1}}$ 这 ${{2}^{n+1}}$ 个柜，走到大厅末端时，未打开的号码为2，4，6，…，${{2}^{n+1}}$．往回走到出发点时，打开的号码为4的倍数，未打开的为2，6，…，${{2}^{n}}-2$．这 ${{2}^{n-1}}$ 个号码如果重新排为 $1\\ 2 \cdots {{2}^{n-1}}$，则编号为 ${{L}_{n-1}}$ 的原来的编号是 $4{{L}_{n-1}}-2$．所以 ${{L}_{n+1}}=4{{L}_{n-1}}-2$．（1）
显然 ${{L}_{1}}=2$，${{L}_{2}}=2$．所以由上述递推公式得 ${{L}_{4}}=6$，${{L}_{6}}=22$，${{L}_{8}}=86$，${{L}_{10}}=342$．即最后打开的柜子，号码是342．
对1，2，…，${{2}^{n+1}}$ 这 ${{2}^{n+1}}$ 个柜，走到大厅末端时，未打开的号码为2，4，6，…，${{2}^{n+1}}$．往回走到出发点时，打开的号码为4的倍数，未打开的为2，6，…，${{2}^{n}}-2$．这 ${{2}^{n-1}}$ 个号码如果重新排为 $1\\ 2 \cdots {{2}^{n-1}}$，则编号为 ${{L}_{n-1}}$ 的原来的编号是 $4{{L}_{n-1}}-2$．所以 ${{L}_{n+1}}=4{{L}_{n-1}}-2$．（1）
显然 ${{L}_{1}}=2$，${{L}_{2}}=2$．所以由上述递推公式得 ${{L}_{4}}=6$，${{L}_{6}}=22$，${{L}_{8}}=86$，${{L}_{10}}=342$．即最后打开的柜子，号码是342．
答案
解析
备注
