两个不同的无穷等比级数（各项均为实数），每个级数的各项之和等于1．两级数的第二项相同，且均可表示成 $\frac{\sqrt{m}-n}{p}$ 的形式，$m$，$n$，$p$ 为正整数，且 $m$ 不被任何素数的平方整除，其中一个级数的第三项等于 $\frac{1}{8}$．试求 $100m+10n+p$ 的值．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
518
【解析】
设两个级数分别为 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty }{a\cdot {{r}^{k}}}$，$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty}{b\cdot {{s}^{k}}}$．
由给定的条件可知，$a=1-r$，$b=1-s$，$ar=bs$．由此推出 $r\left(1-r \right)=s\left( 1-s \right)$，即 $r-s={{r}^{2}}-{{s}^{2}}$，因为两个级数不同，$r\ne s$，所以只剩 $r=1-s$ 这一种可能性，那么两个级数可以重新写成
$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left( 1-r \right)\cdot {{r}^{k}}}$，$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty}{r\cdot {{\left( 1-r \right)}^{k}}}$．
可任选择其中一个级数的第三项等于 $\frac{1}{8}$，设 $\left( 1-r\right)\cdot {{r}^{2}}=\frac{1}{8}$，得到 $8{{r}^{3}}-8{{r}^{2}}+1=0$，用换元法代入 $t=2r$，得到 ${{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+1=0$，1为其中一个根．因式分解得到 $\left( t-1 \right)\left( {{t}^{2}}-t-1 \right)=0$，则另两个根等于 $\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，所以 $r=\frac{1}{2}$ 或 $r=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$．如果 $r=\frac{1}{2}$，则两个级数相同；若 $r=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$，$s=\frac{3+\sqrt{5}}{4}$，但这与 $\left| s\right|<1$ 矛盾．因此 $r=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，$-1<s=\frac{3-\sqrt{5}}{4}<1$．那么级数的第二项等于
$r\cdot\left( 1-r \right)=\left( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)\left(\frac{3-\sqrt{5}}{4} \right)=\frac{\sqrt{5}-1}{8}$．
因此 $100m+10n+p=518$．
由给定的条件可知，$a=1-r$，$b=1-s$，$ar=bs$．由此推出 $r\left(1-r \right)=s\left( 1-s \right)$，即 $r-s={{r}^{2}}-{{s}^{2}}$，因为两个级数不同，$r\ne s$，所以只剩 $r=1-s$ 这一种可能性，那么两个级数可以重新写成
$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left( 1-r \right)\cdot {{r}^{k}}}$，$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty}{r\cdot {{\left( 1-r \right)}^{k}}}$．
可任选择其中一个级数的第三项等于 $\frac{1}{8}$，设 $\left( 1-r\right)\cdot {{r}^{2}}=\frac{1}{8}$，得到 $8{{r}^{3}}-8{{r}^{2}}+1=0$，用换元法代入 $t=2r$，得到 ${{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+1=0$，1为其中一个根．因式分解得到 $\left( t-1 \right)\left( {{t}^{2}}-t-1 \right)=0$，则另两个根等于 $\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，所以 $r=\frac{1}{2}$ 或 $r=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$．如果 $r=\frac{1}{2}$，则两个级数相同；若 $r=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$，$s=\frac{3+\sqrt{5}}{4}$，但这与 $\left| s\right|<1$ 矛盾．因此 $r=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，$-1<s=\frac{3-\sqrt{5}}{4}<1$．那么级数的第二项等于
$r\cdot\left( 1-r \right)=\left( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)\left(\frac{3-\sqrt{5}}{4} \right)=\frac{\sqrt{5}-1}{8}$．
因此 $100m+10n+p=518$．
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解析
备注
