选定整数序数 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…，使得 ${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}-{{a}_{n-2}}$，其中 $n\geqslant 3$．如果前1492项的和是1985，而前1985项的和是1492，那么前2001项的和是多少？
【难度】
【出处】
1985年第3届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
986
【解析】
计算出这个序列前八项，
${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}={{a}_{2}}-{{a}_{1}}$，
${{a}_{4}}={{a}_{3}}-{{a}_{2}}={{a}_{2}}-{{a}_{1}}-{{a}_{2}}=-{{a}_{1}}$，
${{a}_{5}}={{a}_{4}}-{{a}_{3}}=-{{a}_{1}}-{{a}_{2}}+{{a}_{1}}=-{{a}_{2}}$，
${{a}_{6}}={{a}_{5}}-{{a}_{4}}={{a}_{1}}-{{a}_{2}}$，
${{a}_{7}}={{a}_{6}}-{{a}_{5}}=\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}}\right)-\left( -{{a}_{2}} \right)={{a}_{1}}$，
${{a}_{8}}={{a}_{7}}-{{a}_{6}}={{a}_{1}}-\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}}\right)={{a}_{2}}$，
就会发现每六个一段循环．对任意的 $n$，有 ${{a}_{n+6}}={{a}_{n}}$，而且容易验证这个序列中，每六个相邻的项的和为0．注意1492被6除余4，1985被6除余5，2001被6除余3，所以
${{S}_{1985}}={{a}_{1981}}+{{a}_{1982}}+\cdots+{{a}_{1985}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{5}}$
$={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\left({{a}_{2}}-{{a}_{1}} \right)+\left( -{{a}_{1}} \right)+\left( -{{a}_{2}}\right)$
$={{a}_{2}}-{{a}_{1}}=1492$，（3）
${{S}_{1492}}={{a}_{1489}}+{{a}_{1490}}+{{a}_{1491}}+{{a}_{1492}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}$
$={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\left({{a}_{2}}-{{a}_{1}} \right)+\left( -{{a}_{1}} \right)$
$=2{{a}_{2}}-{{a}_{1}}=1985$．（4）
由（3），（4）解得 ${{a}_{1}}=-999$，${{a}_{2}}=493$．
${{S}_{2001}}={{a}_{1999}}+{{a}_{2000}}+{{a}_{2001}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}$
$={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\left({{a}_{2}}-{{a}_{1}} \right)$
$=2{{a}_{2}}=986$．
${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}={{a}_{2}}-{{a}_{1}}$，
${{a}_{4}}={{a}_{3}}-{{a}_{2}}={{a}_{2}}-{{a}_{1}}-{{a}_{2}}=-{{a}_{1}}$，
${{a}_{5}}={{a}_{4}}-{{a}_{3}}=-{{a}_{1}}-{{a}_{2}}+{{a}_{1}}=-{{a}_{2}}$，
${{a}_{6}}={{a}_{5}}-{{a}_{4}}={{a}_{1}}-{{a}_{2}}$，
${{a}_{7}}={{a}_{6}}-{{a}_{5}}=\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}}\right)-\left( -{{a}_{2}} \right)={{a}_{1}}$，
${{a}_{8}}={{a}_{7}}-{{a}_{6}}={{a}_{1}}-\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}}\right)={{a}_{2}}$，
就会发现每六个一段循环．对任意的 $n$，有 ${{a}_{n+6}}={{a}_{n}}$，而且容易验证这个序列中，每六个相邻的项的和为0．注意1492被6除余4，1985被6除余5，2001被6除余3，所以
${{S}_{1985}}={{a}_{1981}}+{{a}_{1982}}+\cdots+{{a}_{1985}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{5}}$
$={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\left({{a}_{2}}-{{a}_{1}} \right)+\left( -{{a}_{1}} \right)+\left( -{{a}_{2}}\right)$
$={{a}_{2}}-{{a}_{1}}=1492$，（3）
${{S}_{1492}}={{a}_{1489}}+{{a}_{1490}}+{{a}_{1491}}+{{a}_{1492}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}$
$={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\left({{a}_{2}}-{{a}_{1}} \right)+\left( -{{a}_{1}} \right)$
$=2{{a}_{2}}-{{a}_{1}}=1985$．（4）
由（3），（4）解得 ${{a}_{1}}=-999$，${{a}_{2}}=493$．
${{S}_{2001}}={{a}_{1999}}+{{a}_{2000}}+{{a}_{2001}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}$
$={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\left({{a}_{2}}-{{a}_{1}} \right)$
$=2{{a}_{2}}=986$．
答案
解析
备注
