已知 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{35}{\sin 5k=\tan \frac{m}{n}}$，这里角的单位为度，$m$，$n$ 为互素的正整数且满足 $\frac{m}{n}<90$．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
1999年第17届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
177
【解析】
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{35}{\sin 5k}=\frac{1}{\sin5}\sum\limits_{k=1}^{35}{\sin 5\sin 5k}$
$\displaystyle =\frac{1}{\sin5}\sum\limits_{k=1}^{35}{\frac{\cos \left( 5k-5 \right)-\cos \left( 5k+5\right)}{2}}$
$=\frac{1}{\sin 5}\cdot\frac{\cos 0+\cos 5-\cos 175-\cos 180}{2}$
$=\frac{1-\cos 175}{\sin175}=\tan \frac{175}{2}$．
故 $m+n=177$．
$\displaystyle =\frac{1}{\sin5}\sum\limits_{k=1}^{35}{\frac{\cos \left( 5k-5 \right)-\cos \left( 5k+5\right)}{2}}$
$=\frac{1}{\sin 5}\cdot\frac{\cos 0+\cos 5-\cos 175-\cos 180}{2}$
$=\frac{1-\cos 175}{\sin175}=\tan \frac{175}{2}$．
故 $m+n=177$．
答案
解析
备注
