求 $10\cot \left( \text{arc}\cot 3+\text{arc}\cot 7+\text{arc}\cot 13+\text{arc}\cot 21 \right)$ 的值．
【难度】
【出处】
1984年第2届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
15
【解析】
设 $A=\arccos 3$，$B=\text{arc}\cot 7$，$C=\text{arc}\cot 13$，$D=\text{arc}\cot 21$，$E=A+B$，$F=C+D$，则这个问题等价于求 $10\cot \left( E+F \right)$ 的值．
因为 $\cot \left( x+y\right)=\frac{\cot x\cdot \cot y-1}{\cot x+\cot y}$，
$\cot \left( \text{arc}\cot x\right)=x$，$x\in \mathbf{R}$，$\text{arc}\cot x\in \left( 0 \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\right)$，
所以 $\cot E=\cot \left(A+B \right)=\frac{3\times 7-1}{3+7}=2$，
$\cot F=\cot \left( C+D\right)=\frac{13\times 21-1}{13+21}=8$，
$\cot \left( E+F \right)=\frac{2\times8-1}{2+8}=\frac{3}{2}$．
所以 $10\cot \left( E+F\right)=15$．
因为 $\cot \left( x+y\right)=\frac{\cot x\cdot \cot y-1}{\cot x+\cot y}$，
$\cot \left( \text{arc}\cot x\right)=x$，$x\in \mathbf{R}$，$\text{arc}\cot x\in \left( 0 \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\right)$，
所以 $\cot E=\cot \left(A+B \right)=\frac{3\times 7-1}{3+7}=2$，
$\cot F=\cot \left( C+D\right)=\frac{13\times 21-1}{13+21}=8$，
$\cot \left( E+F \right)=\frac{2\times8-1}{2+8}=\frac{3}{2}$．
所以 $10\cot \left( E+F\right)=15$．
答案
解析
备注
