已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac{12}{11}$，$a_{n+1}=\dfrac{4a_n}{2a_n+1}$，$n=1,2,\cdots$．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
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求 $\{a_n\}$ 的通项公式，并证明对任意的 $x>0$，$a_n\geqslant \dfrac 3{2+x}-\dfrac 3{(2+x)^2}\left(\dfrac 3{4^n}-x\right)$，$n=1,2,\cdots$；标注答案$a_n=\dfrac{3\cdot 4^n}{2\cdot 4^n+3}$，证明略解析因为 $a_{n+1}=\dfrac{4a_n}{2a_n+1}$，所以$$\dfrac 1{a_{n+1}}=\dfrac 12+\dfrac 1{4a_n},$$可知$$\dfrac 1{a_{n+1}}-\dfrac 23=\dfrac 14\left(\dfrac 1{a_n}-\dfrac 23\right).$$又因为 $\dfrac 1{a_1}-\dfrac 23=\dfrac 14$，故数列 $\left\{\dfrac 1{a_n}-\dfrac 23\right\}$ 构成以 $\dfrac 14$ 为首项，$\dfrac 14$ 为公比的等比数列，所以$$\dfrac 1{a_n}-\dfrac 23=\dfrac1{4^n},$$整理得$$a_n=\dfrac{3\cdot 4^n}{2\cdot 4^n+3}.$$故 $a_n>0$，所以\[\begin{split}&\dfrac{3}{2+x}-\dfrac{3}{(2+x)^2}\left(\dfrac 3{4^n}-x\right)\\=&\dfrac{3}{x+2}-\dfrac 3{(2+x)^2}\left(\dfrac 3{4^n}+\dfrac 63-\dfrac 63 -x\right)\\=&\dfrac 3{x+2}-\dfrac {9}{(2+x)^2}\left[\dfrac 1{4^n}+\dfrac 23-\left(\dfrac 23 +\dfrac x3\right)\right]\\=&\dfrac 3{x+2}-\dfrac 9{(2+x)^2}\left(\dfrac 1{a_n}-\dfrac{x+2}{3}\right)\\=&-\dfrac 1{a_n}\cdot \dfrac{9}{(x+2)^2}+\dfrac 6{x+2}\\=&-\dfrac 1{a_n}\left(\dfrac 3{x+2}-a_n\right)^2+a_n\\ \leqslant &a_n.\end{split}\]
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求证：$a_1+a_2+\cdots +a_n>\dfrac{3n^2}{2n+1}$．标注答案略解析由 $(1)$ 对任意的 $x>0$，\[\begin{split}&a_1+a_2+\cdots +a_n\\ \geqslant &\dfrac 3{2+x}-\dfrac 3{(2+x)^2}\left(\dfrac 34-x\right)+\dfrac 3{2+x}-\dfrac{3}{(2+x)^2}\left(\dfrac 3{4^2}-x\right)+\cdots +\dfrac 3{2+x}-\dfrac{3}{(2+x)^2}\left(\dfrac 3{4^n}-x\right)\\=&\dfrac{3n}{2+x}-\dfrac{3}{(2+x)^2}\left(\dfrac 34+\dfrac 3{4^2}+\cdots +\dfrac 3{4^n}-nx\right),\end{split}\]取\[\begin{split}x&=\dfrac 1n\left(\dfrac 34+\dfrac 3{4^2}+\cdots +\dfrac 3{4^n}\right)\\&=\dfrac{\dfrac 34\left(1-\dfrac 1{4^n}\right)}{n\left(1-\dfrac 14\right)}\\&=\dfrac 1n \left(1-\dfrac 1{4^n}\right),\end{split}\]则\[\begin{split}a_1+a_2+\cdots +a_n& \geqslant \dfrac{3n}{2+x}\\&=\dfrac{3n}{2+\dfrac 1n\left(1-\dfrac 1{4^n}\right)}\\&=\dfrac{3n^2}{2n+1-\dfrac 1{4^n}}\\&>\dfrac{3n^2}{2n+1}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
