令 $\displaystyle P\left( x \right)=24{{x}^{24}}+\sum\limits_{j=1}^{23}{\left( 24-j \right)\left( {{x}^{24-j}}+{{x}^{24+i}} \right)}$，设 ${{z}_{1}} {{z}_{2}} {{z}_{3}} \cdots {{z}_{r}}$ 为 $P\left( x \right)$ 所有不同的根．令 ${{z}_{k}}^{2}={{a}_{k}}+i{{b}_{k}}$，其中 $k=1 2 \cdots r$，$i=\sqrt{-1} {{a}_{k}} {{b}_{k}}$ 为实数．若 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{r}{\left| {{b}_{k}} \right|}=m+n\sqrt{p}$，其中 $m n p$ 为整数，$p$ 不能被任何素数的平方整除，求 $m+n+p$．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
15
【解析】
$P\left( x\right)=x+2{{x}^{2}}+3{{x}^{3}}+\cdots +24{{x}^{24}}+23{{x}^{25}}+22{{x}^{26}}+\cdots+2{{x}^{46}}+{{x}^{47}}$
$=x{{\left(1+x+{{x}^{2}}+\cdots +{{x}^{23}} \right)}^{2}}$
$=x{{\left(\frac{{{x}^{24}}-1}{x-1} \right)}^{2}}$．
显然0是 $P\left( x \right)=0$ 的一个根，$P\left( x \right)=0$ 的其他根可以表示为 $\cos \frac{2\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }k}{24}+i\sin \frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k}{24}$，其中 $k=1 2 3 \\cdots 23$．因此所求的和为
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{23}{\left|\sin \frac{k\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}\right|}=4\sum\limits_{k=1}^{5}{\left| \sin \frac{k\text{ }\!\!\pi\!\!\text{}}{6} \right|}=4\cdot \left( 2\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)=8+4\sqrt{3}$．
故 $m+n+p=15$．
$=x{{\left(1+x+{{x}^{2}}+\cdots +{{x}^{23}} \right)}^{2}}$
$=x{{\left(\frac{{{x}^{24}}-1}{x-1} \right)}^{2}}$．
显然0是 $P\left( x \right)=0$ 的一个根，$P\left( x \right)=0$ 的其他根可以表示为 $\cos \frac{2\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }k}{24}+i\sin \frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k}{24}$，其中 $k=1 2 3 \\cdots 23$．因此所求的和为
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{23}{\left|\sin \frac{k\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}\right|}=4\sum\limits_{k=1}^{5}{\left| \sin \frac{k\text{ }\!\!\pi\!\!\text{}}{6} \right|}=4\cdot \left( 2\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)=8+4\sqrt{3}$．
故 $m+n+p=15$．
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解析
备注
