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已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$，求证：当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\sqrt{2n+\dfrac 13\ln (n-1)}\leqslant a_n\leqslant \sqrt{2n+\dfrac 12\ln (n-1)}.\]
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    数列
    >
    数列不等式
  • 知识点
    >
    数列
    >
    数列的性质
    >
    数列的有界性
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    放缩
    >
    利用有界性迭代估计
【答案】
略
【解析】
初始估计根据题意，有\[a_{n+1}^2=a_n^2+\dfrac{1}{a_n^2}+2,\]于是\[a_{n+1}^2-a_n^2\geqslant 2,\]又 $a_2=2$，于是当 $n\geqslant 2$ 时，有\[a_n^2\geqslant 2n.\]迭代估计这样就有\[a_{n+1}^2-a_n^2\leqslant \dfrac{1}{2n}+2,\]于是当 $n\geqslant 2$ 时，有\[a_n^2\leqslant 2n+\sum_{k=2}^{n-1}\dfrac{1}{2k}\leqslant 2n+\dfrac 12\ln(n-1).\]再迭代估计进而就有\[\begin{split} a_{n+1}^2-a_n^2&\geqslant \dfrac{1}{2n+\dfrac 12\ln (n-1)}+2\\
&\geqslant \dfrac{1}{2n+\dfrac 12(n-2)}+2\\
&=\dfrac{2}{5n-2}+2,\end{split} \]因此\[a_n^2\geqslant 2n+\sum_{k=2}^{n-1}\dfrac{2}{5k-2}\geqslant 2n+\dfrac 25\ln\dfrac{5n-2}8.\]回到原题考虑到当 $n\geqslant 4$ 时，有\[\dfrac{2}{5n-2}\geqslant\dfrac{1}{3(n-1)},\]因此考虑证明当 $n\geqslant 4$ 时，有\[a_n^2\geqslant 2n+\dfrac 13\ln (n-1),\]然后单独验证 $n=3$ 的情形即可．
答案 解析 备注
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