已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=8$，$a_{n+1}=\dfrac 12a_{n}^2-4$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=2\left[\left(2+\sqrt 3\right)^{2^{n-1}}+\left(2-\sqrt 3\right)^{2^{n-1}}\right],n\in\mathbb N^{\ast}$
【解析】
注意到\[\dfrac{a_{n+1}}4=2\cdot \left(\dfrac{a_n}4\right)^2-1,\]又 $\dfrac{a_1}{4}=2$，于是令\[\dfrac{a_n}4=\cosh x_n,\]则\[\cosh x_{n+1}=2\cosh^2x_n-1=\cosh(2x_n),\]进而\[x_n=2^{n-1}\cdot x_1,\]因此可得\[a_n=4\cosh \left(2^{n-1}\cdot x_1\right)
=4\cdot \dfrac{{\rm e}^{2^{n-1}x_1}+{\rm e}^{-2^{n-1}x_1}}2,\]而\[\dfrac{{\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{-x_1}}2=2,\]解得\[{\rm e}^{x_1}=2\pm \sqrt 3,\]从而\[a_n=2\left[\left(2+\sqrt 3\right)^{2^{n-1}}+\left(2-\sqrt 3\right)^{2^{n-1}}\right],n\in\mathbb N^{\ast}.\]
=4\cdot \dfrac{{\rm e}^{2^{n-1}x_1}+{\rm e}^{-2^{n-1}x_1}}2,\]而\[\dfrac{{\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{-x_1}}2=2,\]解得\[{\rm e}^{x_1}=2\pm \sqrt 3,\]从而\[a_n=2\left[\left(2+\sqrt 3\right)^{2^{n-1}}+\left(2-\sqrt 3\right)^{2^{n-1}}\right],n\in\mathbb N^{\ast}.\]
答案
解析
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