设 $S$ 是 $\left\{ 1, 2 ,3 ,\cdots ,1989 \right\}$ 的一个子集，$S$ 中没有两个元素相差4或7，$S$ 最多能有几个元素？
【难度】
【出处】
1989年第7届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
905
【解析】
为了使集合 $S$ 中没有两个元素相差为4或7，可先在整数1至11之间列出没有两个整数相差为4或7的最多整数．经过观察，最多只有5个整数满足条件，且容易验证最大数不小于9．注意到 $1989<11\times181$ 数 $S$ 中最可能有 $181\times 5=905$ 个元素，欲使 $S$ 中的元素最多，通过比较筛选可挑出下面两种：
（1）1，3，4，6，9；（2）1，2，4，7，10．来构造 $S$ 中元素较恰当适宜．
数表一
1，3，4，6，9
12，14，15，17，20
23，25，26，28，31
………………………
数表二
1，2，4，7，10
12，13，15，18，21
23，24，26，29，32
………………………
在数表一里，它们分别是以1，3，4，6，9为首项，公差为11的五个等差数列，其中第五个数列的通项 ${{a}_{n}}=9+11\left( n-1 \right)\leqslant 1989$，
故 $n$ 的最大值为181．因此数表一里的整数个数 ${{N}_{1}}=5\times 181=905$．
在数表二里，它们分别是以1，2，4，7，10为首项，公差为11的五个等差数列，其中第五个数列的通项 ${{a}_{n}}=10+11\left( n-1 \right)\leqslant 1989$，
故 $n\leqslant 180\frac{10}{11}$，因此数表二里的整数个数为 ${{N}_{2}}=5\times180+4=904$．
所以，$S$ 中的元素最多为905．
（1）1，3，4，6，9；（2）1，2，4，7，10．来构造 $S$ 中元素较恰当适宜．
数表一
1，3，4，6，9
12，14，15，17，20
23，25，26，28，31
………………………
数表二
1，2，4，7，10
12，13，15，18，21
23，24，26，29，32
………………………
在数表一里，它们分别是以1，3，4，6，9为首项，公差为11的五个等差数列，其中第五个数列的通项 ${{a}_{n}}=9+11\left( n-1 \right)\leqslant 1989$，
故 $n$ 的最大值为181．因此数表一里的整数个数 ${{N}_{1}}=5\times 181=905$．
在数表二里，它们分别是以1，2，4，7，10为首项，公差为11的五个等差数列，其中第五个数列的通项 ${{a}_{n}}=10+11\left( n-1 \right)\leqslant 1989$，
故 $n\leqslant 180\frac{10}{11}$，因此数表二里的整数个数为 ${{N}_{2}}=5\times180+4=904$．
所以，$S$ 中的元素最多为905．
答案
解析
备注
