题目 设 $a_1>\dfrac{1}{12}$，且 $a_{n+1}=\sqrt{(n+2)a_n+1}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$． 问题1 求证：$a_n>n-\dfrac 2n$； 答案1 略 解析1 当 $n=1$ 时命题显然成立；<br/>当 $n=2$ 时，有\[a_2=\sqrt{3a_1+1}>\dfrac{\sqrt 5}2>1,\]命题成立；<br/>当 $n=3$ 时，有\[a_3=\sqrt{4a_2+1}>\sqrt {2\sqrt 5+1}>3-\dfrac 23,\]命题成立；<br/>当 $n\geqslant 3$ 时，考虑到\[(n+2)\cdot\left(n-\dfrac 2n\right)+1-\left(n+1-\dfrac{2}{n+1}\right)^2=\dfrac{2(n^3-5n-2)}{n(n+1)^2}>0,\]于是由数学归纳法，原命题得证． 备注1 问题2 设 $b_n=2^n\left(\dfrac{a_n}n-1\right)$，求证：当 $\dfrac{1}{12}<a_1<1$ 时，$b_n<b_{n+1}<0$；当 $a_1>1$ 时，$0<b_{n+1}<b_n$． 答案2 略 解析2 由数学归纳法容易证明当 $\dfrac{1}{12}<a_1<1$ 时，有 $a_n<n$；当 $a_1>1$ 时，有 $a_n>n$，这就得到命题中的上下界．下面证明单调性．<br/>考虑\[\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=2\cdot \dfrac{\dfrac{a_{n+1}}{n+1}-1}{\dfrac{a_n}n-1},\]因此当 $a_1>1$ 时，不等式 $b_{n+1}<b_n$ 等价于\[\dfrac{a_n}{n}-1>\dfrac{2a_{n+1}}{n+1}-2,\]即\[\dfrac{a_{n+1}^2-1}{(n+2)n}-1>\dfrac{2a_{n+1}}{n+1}-2,\]整理，也即当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\left(a_n-n\right)\left(na_n-n^2+2\right)>0,\]根据第 $(1)$ 小题的结果，命题得证．<br/>类似地，当 $a_1<1$ 时，命题也成立．因此原命题得证． 备注2 每日一题[1005]数列的单调性．