试求最接近 $\displaystyle 1000\sum\limits_{n=3}^{10000}{\frac{1}{{{n}^{2}}-4}}$ 的整数值．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
521
【解析】
因为 $\frac{1}{{{n}^{2}}-4}=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+2}\right)$，利用裂项求和，得
$\displaystyle 1000\sum\limits_{n=3}^{10000}{\frac{1}{{{n}^{2}}-4}=250\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9999}-\frac{1}{10000}-\frac{1}{10001}-\frac{1}{10002}\right)}$
$=250+125+\frac{250}{3}+\frac{250}{4}-\frac{250}{9999}-\frac{250}{10000}-\frac{250}{10001}-\frac{250}{10002}$
$=520+\frac{5}{6}-r$，
其中正数 $r$ 小于 $\frac{1}{3}$，因此所求的整数等于521．
$\displaystyle 1000\sum\limits_{n=3}^{10000}{\frac{1}{{{n}^{2}}-4}=250\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9999}-\frac{1}{10000}-\frac{1}{10001}-\frac{1}{10002}\right)}$
$=250+125+\frac{250}{3}+\frac{250}{4}-\frac{250}{9999}-\frac{250}{10000}-\frac{250}{10001}-\frac{250}{10002}$
$=520+\frac{5}{6}-r$，
其中正数 $r$ 小于 $\frac{1}{3}$，因此所求的整数等于521．
答案
解析
备注
