乘积式 $\left( 1-x \right)\left( 1+2x \right)\left( 1-3x \right)\ldots \left( 1+14x \right)\left( 1-15x \right)$ 的展开式中 ${{x}^{2}}$ 项系数为 $C$，求 $\left| C \right|$ 。
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
588
【解析】
由于从乘积式的 $15$ 个因式中任取 $2$ 个因式，这两个因式的 $x$ 项相乘即得 ${{x}^{2}}$ 项，故 ${{x}^{2}}$ 项的系数是集合 $\left\{ -1,2,-3,\ldots,14,-15 \right\}$ 中的元素两两乘积之和。
根据恒等式 $\displaystyle {{\left({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots {{a}_{n}} \right)}^{2}}=\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots a_{n}^{2} \right)+2\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n}{{{a}_{i}}{{a}_{j}}}$ 可得
$\displaystyle C=\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant k\leqslant 15}{{{\left( -1 \right)}^{i}}i}\cdot {{\left( -1\right)}^{j}}j=\frac{1}{2}\left[ {{\left( \sum\limits_{k=1}^{15}{{{\left( -1\right)}^{k}}k} \right)}^{2}}-\sum\limits_{k=1}^{15}{{{k}^{2}}} \right]$
$=\frac{1}{2}\left( {{\left( -8\right)}^{2}}-\frac{15\times \left( 15+1 \right)\times \left( 2\times 15+1\right)}{6} \right)=-588$ 。
因此 $\left| C \right|=588$ 。
根据恒等式 $\displaystyle {{\left({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots {{a}_{n}} \right)}^{2}}=\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots a_{n}^{2} \right)+2\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n}{{{a}_{i}}{{a}_{j}}}$ 可得
$\displaystyle C=\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant k\leqslant 15}{{{\left( -1 \right)}^{i}}i}\cdot {{\left( -1\right)}^{j}}j=\frac{1}{2}\left[ {{\left( \sum\limits_{k=1}^{15}{{{\left( -1\right)}^{k}}k} \right)}^{2}}-\sum\limits_{k=1}^{15}{{{k}^{2}}} \right]$
$=\frac{1}{2}\left( {{\left( -8\right)}^{2}}-\frac{15\times \left( 15+1 \right)\times \left( 2\times 15+1\right)}{6} \right)=-588$ 。
因此 $\left| C \right|=588$ 。
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备注
