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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21090 5c6a5ecc210b281db9f4c7d9 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在 $5\times 5$ 的正方形中有21个空位子．已知可以在空位上填上正整数，使得各行各列都组成等差数列．问图中打星号的空格上必须填什么数字？ 2022-04-17 20:47:05
21086 5c6a5ef3210b281db9f4c7e8 高中 解答题 自招竞赛 令 ${{\omega }_{1}}$，${{\omega }_{2}}$，……，${{\omega }_{n}}$ 为复数，如果直线 $l$ 包含点（复数）${{z}_{1}}$，${{z}_{2}}$，…，${{z}_{n}}$，并使得 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\left( {{z}_{k}}-{{\omega }_{k}} \right)}=0$，则称 $l$ 为 ${{\omega }_{1}}$，${{\omega }_{2}}$，…，${{\omega }_{n}}$ 的“平均直线”．
对于 ${{\omega }_{1}}=32+170\text{i}$，${{\omega }_{2}}=-7+64\text{i}$，${{\omega }_{3}}=-9+200\text{i}$，${{\omega }_{4}}=1+27\text{i}$，${{\omega }_{5}}=-14+43\text{i}$，有唯一的一条纵轴截距为 $y=3$ 的“平均直线”．
对于 ${{\omega }_{1}}=32+170\text{i}$，${{\omega }_{2}}=-7+64\text{i}$，${{\omega }_{3}}=-9+200\text{i}$，${{\omega }_{4}}=1+27\text{i}$，${{\omega }_{5}}=-14+43\text{i}$，有唯一的一条纵轴截距为 $y=3$ 的“平均直线”，求此直线的斜率．		 2022-04-17 20:45:05
21084 5c6a5f09210b281dbaa93442 高中 解答题 自招竞赛 老板将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在信堆的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打，有一天共有9封信要打，老板按第一封、第二封、…、第九封的顺序交给秘书．午饭的时候，秘书告诉同事，已把第八封信打好了，但未透露上午工作的其他情况．这个同事很想知道还剩下哪些信件没有打，还想知道按什么样的顺序来打印．
根据以上的信息，下午打的信的顺序有多少种可能（没有要打的信也是一种可能）？		 2022-04-17 20:43:05
21077 5c6a74aa210b281dbaa93464 高中 解答题 自招竞赛 若整数 $k$ 被加到36，300和596各个数上，得到一个等差数列的三个连续项的平方，求 $k$． 2022-04-17 20:39:05
21076 5c6a74b0210b281dbaa93469 高中 解答题 自招竞赛 假定 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，${{x}_{3}}$，…，${{x}_{7}}$ 是实数，使得
${{x}_{1}}+4{{x}_{2}}+9{{x}_{3}}+16{{x}_{4}}+25{{x}_{5}}+36{{x}_{6}}+49{{x}_{7}}=1$，（1）
$4{{x}_{1}}+9{{x}_{2}}+16{{x}_{3}}+25{{x}_{4}}+36{{x}_{5}}+49{{x}_{6}}+64{{x}_{7}}=12$，（2）
$9{{x}_{1}}+16{{x}_{2}}+25{{x}_{3}}+36{{x}_{4}}+49{{x}_{5}}+64{{x}_{6}}+81{{x}_{7}}=123$，（3）
求 $16{{x}_{1}}+25{{x}_{2}}+36{{x}_{3}}+49{{x}_{4}}+64{{x}_{5}}+81{{x}_{6}}+100{{x}_{7}}$ 的值．		 2022-04-17 20:39:05
21071 5c6b7094210b281dbaa93482 高中 解答题 自招竞赛 递增数列2，3，5，6，7，10，11，…由所有既不是平方数，又不是立方数的正整数组成，求这个数列的第500项． 2022-04-17 20:36:05
21062 5c6bab50210b281db9f4c890 高中 解答题 自招竞赛 矩形 $ABCD$ 的边长 $AB$ 为4，$CB$ 为3．用点 $A={{P}_{0}}$，${{P}_{1}}$，…，${{P}_{168}}=B$ 将 $AB$ 平分为168份；用点 $C={{Q}_{0}} {{Q}_{1}} \cdots {{Q}_{168}}=B$ 将 $CB$ 平分为168份．对 $1\leqslant k\leqslant 167$，连接线段 ${{P}_{k}}{{Q}_{k}}$．对于边 $AD$ 和 $CD$ 重复这样的工作并连接对角线 $AC$．求这335条平行线段的长度和． 2022-04-17 20:31:05
21049 5c6b70d1210b281dbaa93496 高中 解答题 自招竞赛 一个正十二边形内接于半径为12的圆，这正十二边形所有的边和对角线的长度之和可以写成 $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}$ 的形式，其中 $a$，$b$，$c$，$d$ 的形式，其中 $a$，$b$，$c$，$d$ 是正整数，求 $a+b+c+d$． 2022-04-17 20:24:05
21048 5c6b70d6210b281dbaa9349b 高中 解答题 自招竞赛 设 $T=\left\{ {{9}^{k}}|k ,0\leqslant k\leqslant 4000 \right\}$．已知 ${{9}^{4000}}$ 是3817位数且它的首位数字是9，则 $T$ 中有多少个数的首位数字是9？ 2022-04-17 20:24:05
21039 5c6bd2e0210b281db9f4c8f9 高中 解答题 自招竞赛 对于任意的实数数列 $A=\left( {{a}_{1}} ,{{a}_{2}}, {{a}_{3}} ,\cdots \right)$，定义 $\Delta A$ 为数列 $\left( {{a}_{2}}-{{a}_{1}}, {{a}_{3}}-{{a}_{2}} ,{{a}_{4}}-{{a}_{3}}, \cdots \right)$，其中它的第 $n$ 项为 ${{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}$．假设 $\Delta \left( \Delta A \right)$ 的所有项都是1，而 ${{a}_{19}}={{a}_{92}}=0$，试求 ${{a}_{1}}$． 2022-04-17 20:19:05
21032 5c6bd319210b281db9f4c91b 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $n$，如果存在某个正整数 $m$，使得 $m!$ 的十进制表示中的末尾恰好有 $n$ 个零，那么就称 $n$ 是“阶乘尾零数”．在小于1992的正整数中有多少个不是“阶乘尾零数”？ 2022-04-17 20:15:05
21029 5c6cbdc3210b281db9f4c93c 高中 解答题 自招竞赛 如表显示了某次钓鱼比赛的结果，上行的值表示钓到的鱼数，下行的值表示钓到 $n$ 条鱼的参赛人数．\[\begin{matrix}\hline
n& 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & 13 & 14 & 15 \\\hline
n& 9 & 5 & 7 & 23 & \cdots & 5 & 2 & 1 \\\hline
\end{matrix}\]当天的报纸对这次比赛作了如下报道：
（1）获胜者钓到15条鱼；
（2）对钓到3条或3条以上的鱼的所有参赛者来说，每人平均钓到6条鱼；
（3）对钓到12条或12条以下的鱼的所有参赛者来说，每人平均钓到5条鱼．
问本次比赛钓到的鱼的总数是多少？		 2022-04-17 20:13:05
21025 5c6cbdea210b281db9f4c94e 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 是一个含有6个元素的集合，共有多少种方法可以得到 $S$ 中的两个子集（这两个子集可能是相同的）使其并为 $S$？这里不考虑两个子集的顺序，即，例如子集对 $\left\{ a ,c \right\}$，$\left\{ b ,c ,d ,e, f \right\}$ 与子集对 $\left\{ b ,c ,d ,e ,f \right\}$，$\left\{ a ,c \right\}$ 被看成是相同的． 2022-04-17 20:11:05
21014 5c6e07fa210b281dbaa93568 高中 解答题 自招竞赛 对给定的一个正整数 $n$．设 $p\left( n \right)$ 表示 $n$ 的各位上的非零的数字乘积（如果 $n$ 只有一位数字，那么 $p\left( n \right)$ 等于那个数字）．若 $S=p\left( 1 \right)+p\left( 2 \right)+p\left( 3 \right)+\cdots +p\left( 999 \right)$，则 $S$ 的最大素因子是多少？ 2022-04-17 20:05:05
20998 5c6e14ec210b281db9f4ca10 高中 解答题 自招竞赛 使得 $\frac{x}{y}$ 和 $\frac{x+1}{y+1}$ 同时是整数，并且满足 $y<x\leqslant 100$ 的正整数对 $\left( x ,y \right)$ 有多少个？ 2022-04-17 20:53:04
20993 5c6e152a210b281dbaa935cd 高中 解答题 自招竞赛 设 $f\left( n \right)$ 为最接近于 $\sqrt[4]{n}$ 的整数，求 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{1995}{\frac{1}{f\left( k \right)}}$． 2022-04-17 20:49:04
20984 5c6e3bf4210b281db9f4ca65 高中 解答题 自招竞赛 对整数1，2，3，…，10的每一个排列 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{10}}$，作和
$\left| {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right|+\left| {{a}_{3}}-{{a}_{4}} \right|+\left| {{a}_{5}}-{{a}_{6}} \right|+\left| {{a}_{7}}-{{a}_{8}} \right|+\left| {{a}_{9}}-{{a}_{10}} \right|$ 全部这样的和的平均值能写成 $\frac{p}{q}$ 的形式，这里 $p$，$q$ 是互素的正整数．求 $p+q$．		 2022-04-17 20:44:04
20979 5c6e50eb210b287fc87f58d3 高中 解答题 自招竞赛 由9条水平线与9条竖直线组成的 $8\times 8$ 的棋盘共形成 $r$ 个矩形，其中有 $s$ 个正方形．$\frac{s}{r}$ 的值可以由 $\frac{m}{n}$ 的形式表示，其中 $m$，$n$ 均为正整数，且 $\frac{m}{n}$ 是既约分数，求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 20:42:04
20970 5c6e5163210b287fc7b09651 高中 解答题 自招竞赛 设 $\displaystyle x=\frac{\sum\limits_{n=1}^{44}{\cos n{}^\circ }}{\sum\limits_{n=1}^{44}{\sin n{}^\circ }}$，那么不超过 $100x$ 的最大整数是多少？ 2022-04-17 20:37:04
20960 5c6f5a4c210b280151d74963 高中 解答题 自招竞赛 若四元有序数组 $\left( {{x}_{1}} ,{{x}_{2}}, {{x}_{3}}, {{x}_{4}} \right)$ 满足 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{4}{{{x}_{i}}}=98$，且 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，${{x}_{3}}$，${{x}_{4}}$ 为正奇数．设 $n$ 为满足上述条件的四元有序数组的个数，求 $\frac{n}{100}$． 2022-04-17 20:31:04
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