令 ${{\omega }_{1}}$，${{\omega }_{2}}$，……，${{\omega }_{n}}$ 为复数，如果直线 $l$ 包含点（复数）${{z}_{1}}$，${{z}_{2}}$，…，${{z}_{n}}$，并使得 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\left( {{z}_{k}}-{{\omega }_{k}} \right)}=0$，则称 $l$ 为 ${{\omega }_{1}}$，${{\omega }_{2}}$，…，${{\omega }_{n}}$ 的“平均直线”．
对于 ${{\omega }_{1}}=32+170\text{i}$，${{\omega }_{2}}=-7+64\text{i}$，${{\omega }_{3}}=-9+200\text{i}$，${{\omega }_{4}}=1+27\text{i}$，${{\omega }_{5}}=-14+43\text{i}$，有唯一的一条纵轴截距为 $y=3$ 的“平均直线”．
对于 ${{\omega }_{1}}=32+170\text{i}$，${{\omega }_{2}}=-7+64\text{i}$，${{\omega }_{3}}=-9+200\text{i}$，${{\omega }_{4}}=1+27\text{i}$，${{\omega }_{5}}=-14+43\text{i}$，有唯一的一条纵轴截距为 $y=3$ 的“平均直线”，求此直线的斜率．
对于 ${{\omega }_{1}}=32+170\text{i}$，${{\omega }_{2}}=-7+64\text{i}$，${{\omega }_{3}}=-9+200\text{i}$，${{\omega }_{4}}=1+27\text{i}$，${{\omega }_{5}}=-14+43\text{i}$，有唯一的一条纵轴截距为 $y=3$ 的“平均直线”．
对于 ${{\omega }_{1}}=32+170\text{i}$，${{\omega }_{2}}=-7+64\text{i}$，${{\omega }_{3}}=-9+200\text{i}$，${{\omega }_{4}}=1+27\text{i}$，${{\omega }_{5}}=-14+43\text{i}$，有唯一的一条纵轴截距为 $y=3$ 的“平均直线”，求此直线的斜率．
【难度】
【出处】
1988年第6届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
163
【解析】
设 $y=mx+b$ 是复数组 ${{\omega }_{k}}={{u}_{k}}+\text{i}{{v}_{k}}$ 的“平均直线”，其中 ${{u}_{k}}$，${{v}_{k}}\in\mathbf{R}$，$k=1 2 \cdots n$．假定在直线 $y=mx+b$ 上选取复数 ${{z}_{k}}={{x}_{k}}+\text{i}{{y}_{k}}$ $\left({{x}_{k}} {{y}_{k}}\in \mathbf{R} 1\leqslant k\leqslant n \right)$，使得 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\left({{z}_{k}}-{{\omega }_{k}} \right)=0}$，则
$\displaystyle \sum{{{x}_{k}}}=\sum{{{u}_{k}}}$，$\displaystyle \sum{{{y}_{k}}}=\sum{{{v}_{k}}}$，
且 ${{y}_{k}}=m{{x}_{k}}+b\left(1\leqslant k\leqslant n \right)$．因此 $\displaystyle \sum{{{v}_{k}}}=\sum{{{y}_{k}}}=\sum{\left( m{{x}_{k}}+b\right)}=m\sum{{{x}_{k}}+nb}=\left( \sum{{{u}_{k}}} \right)m+nb$．
题中已给出 $n=5$，$b=3$，
$\displaystyle \sum{{{u}_{k}}}=32+\left( -7 \right)+\left( -9 \right)+1+\left( -14\right)=3$，
$\displaystyle \sum{{{v}_{k}}}=170+64+200+27+43=504$．
所以 $504=3m+5$，$m=163$．
$\displaystyle \sum{{{x}_{k}}}=\sum{{{u}_{k}}}$，$\displaystyle \sum{{{y}_{k}}}=\sum{{{v}_{k}}}$，
且 ${{y}_{k}}=m{{x}_{k}}+b\left(1\leqslant k\leqslant n \right)$．因此 $\displaystyle \sum{{{v}_{k}}}=\sum{{{y}_{k}}}=\sum{\left( m{{x}_{k}}+b\right)}=m\sum{{{x}_{k}}+nb}=\left( \sum{{{u}_{k}}} \right)m+nb$．
题中已给出 $n=5$，$b=3$，
$\displaystyle \sum{{{u}_{k}}}=32+\left( -7 \right)+\left( -9 \right)+1+\left( -14\right)=3$，
$\displaystyle \sum{{{v}_{k}}}=170+64+200+27+43=504$．
所以 $504=3m+5$，$m=163$．
答案
解析
备注
