若四元有序数组 $\left( {{x}_{1}} ,{{x}_{2}}, {{x}_{3}}, {{x}_{4}} \right)$ 满足 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{4}{{{x}_{i}}}=98$，且 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，${{x}_{3}}$，${{x}_{4}}$ 为正奇数．设 $n$ 为满足上述条件的四元有序数组的个数，求 $\frac{n}{100}$．
【难度】
【出处】
1998年第16届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
196
【解析】
令 ${{x}_{i}}=2{{y}_{i}}+1$，其中 ${{y}_{i}}\in\mathbf{N}\bigcup \left\{ 0 \right\}$，$i=1 2 3\\ 4$，于是由 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{4}{{{x}_{i}}}=98$ 得 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{4}{\left(2{{y}_{i}}+1 \right)=98}$，
即 ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}+{{y}_{4}}=47$．（1）
由于（1）的解 $\left( {{y}_{1}} {{y}_{2}} {{y}_{3}} {{y}_{4}}\right)$ 的个数为 $\text{C}_{47+4-1}^{4-1}=\text{C}_{50}^{3}=19600$ 个，故 $\left({{x}_{1}} {{x}_{2}} {{x}_{3}} {{x}_{4}} \right)$ 有19600组，即 $n=19600$，从而 $\frac{n}{100}=196$．
即 ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}+{{y}_{4}}=47$．（1）
由于（1）的解 $\left( {{y}_{1}} {{y}_{2}} {{y}_{3}} {{y}_{4}}\right)$ 的个数为 $\text{C}_{47+4-1}^{4-1}=\text{C}_{50}^{3}=19600$ 个，故 $\left({{x}_{1}} {{x}_{2}} {{x}_{3}} {{x}_{4}} \right)$ 有19600组，即 $n=19600$，从而 $\frac{n}{100}=196$．
答案
解析
备注
