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设 $S$ 是一个含有6个元素的集合，共有多少种方法可以得到 $S$ 中的两个子集（这两个子集可能是相同的）使其并为 $S$？这里不考虑两个子集的顺序，即，例如子集对 $\left\{ a ,c \right\}$，$\left\{ b ,c ,d ,e, f \right\}$ 与子集对 $\left\{ b ,c ,d ,e ,f \right\}$，$\left\{ a ,c \right\}$ 被看成是相同的．
【难度】
【出处】
1993年第11届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    排列数与组合数
  • 知识点
    >
    数列
    >
    数列极限
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数的运算
    >
    函数极限
【答案】
365
【解析】
设 $S=A\bigcup B$，且不妨设 $\left| A \right|\leqslant \left| B \right|$．
若 $\left| A \right|=0$，则 $A=\varnothing$，$B=S$．此时只有一种取法；
若 $\left| A \right|=1$，则 $\left| B\right|=6$ 或5．此时有 $\text{C}_{6}^{1}\text{C}_{6}^{6}+\text{C}_{6}^{1}\text{C}_{5}^{5}=12$ 种取法；
若 $\left| A \right|=2$，则 $\left| B\right|=6$，5，4，此时有 $\text{C}_{6}^{2}\text{C}_{6}^{6}\text{+C}_{6}^{2}\text{C}_{2}^{1}\text{C}_{4}^{4}\text{+C}_{6}^{2}\text{C}_{4}^{4}=60$ 种取法；
若 $\left| A \right|=3$，则 $\left| B\right|=6$，5，4，3，此时有 $\text{C}_{6}^{3}\text{C}_{6}^{6}+\text{C}_{6}^{2}\text{C}_{3}^{2}+\text{C}_{6}^{3}\text{C}_{3}^{1}+\frac{1}{2}\text{C}_{6}^{3}\text{C}_{3}^{3}=150$ 种取法；
若 $\left| A \right|=4$，则 $\left| B\right|=6$，5，4，此时有 $\text{C}_{6}^{4}\text{C}_{6}^{6}+\text{C}_{6}^{4}\text{C}_{4}^{3}+\frac{1}{2}\text{C}_{6}^{4}\text{C}_{4}^{2}=120$ 种取法；
若 $\left| A \right|=5$，则 $\left| B\right|=6$，5，此时有 $\text{C}_{6}^{5}\text{C}_{6}^{6}+\frac{1}{2}\text{C}_{6}^{5}\text{C}_{5}^{4}=21$ 种取法；
若 $\left| A \right|=6$，则 $\left| B\right|=6$．此时只有一种取法．
故共有 $1+12+60+150+120+21+1=365$ 种取法．
答案 解析 备注
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