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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27574 59084dc4060a050008e62307 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=0$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，求证：存在一个递增的无穷等差整数列，与数列 $\{a_n\}$ 无公共项． 2022-04-17 21:30:05
27566 593e7fe02da6d2000c5813c3 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 满足 $x_0=5$，$y_0=2$，以及$$\begin{cases}x_{n+1}=-\dfrac{7}{2}x_n+6y_n,\\y_{n+1}=-3x_n+5y_n.\end{cases}$$求 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ 以及 $\lim\limits_{n\to\infty}y_n$． 2022-04-17 21:27:05
27522 590948e6060a05000a33900a 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 均为正数且 $a,b,c$ 成等差数列，判断 $\dfrac 1{\sqrt b+\sqrt c},\dfrac 1{\sqrt c+\sqrt a},\dfrac 1{\sqrt a+\sqrt b}$ 是否成等差数列，并说明理由． 2022-04-17 21:05:05
27496 59095067060a050008cff4f6 高中 解答题 高考真题 设 ${a_1}= 1$，${a_{n + 1}}= \sqrt{a_n^2 - 2{a_n}+ 2}+ b \left(n \in{{\mathbb {N}}^*}\right)$． 2022-04-17 21:49:04
27457 5909871839f91d0008f05057 高中 解答题 自招竞赛 直角三角形 $ABC_0$（$C_0$ 为直角）的三边长是两两互质的正整数，周长为 $p$．作 $C_0C_1 \perp AB$ 于 $C_1$，当 $n \geqslant 2$ 时，作 $C_{n-1}C_{n} \perp BC_{n-2}$ 于 $C_n$．已知 $\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty}C_{n-1}C_n=6p$，求 $p$ 的值． 2022-04-17 21:24:04
27454 590987d639f91d0007cc939d 高中 解答题 自招竞赛 $1,a_2,a_3,\cdots$ 是一个各项均为正整数的单调递增的等差数列，$1,b_2,b_3,\cdots$ 是一个各项均为正整数的单调递增的等比数列．令 $c_n=a_n+b_n$，已知存在整数 $k$ 满足 $c_{k-1}=100,c_{k+1}=1000$，求 $c_k$ 的值． 2022-04-17 21:22:04
27450 590988b539f91d0009d4c06a 高中 解答题 高中习题 求 $\left(15+\sqrt{215}\right)^{20}+\left(15+\sqrt{215}\right)^{15}$ 的个位数． 2022-04-17 21:20:04
27437 59098e6b38b6b40008d7bb6b 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的奇函数，$f(1)=1$，且对任意 $x<0$，均有 $f\left(\dfrac x{x-1}\right)=xf(x)$．求\[f(1)f \left(\dfrac 1{100} \right )+f \left(\dfrac12 \right)f \left(\dfrac 1{99} \right)+f \left(\dfrac 13 \right )f \left(\dfrac 1{98} \right )+\cdots+f \left(\dfrac 1{50} \right)f \left(\dfrac 1{51} \right)\]的值． 2022-04-17 21:14:04
27415 590a8e5a6cddca00092f6ea3 高中 解答题 高中习题 给定正实数 $x_1,y_1,z_1$，定义数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 如下：$$x_{n+1}=y_n+\dfrac 1{z_n},y_{n+1}=z_n+\dfrac{1}{x_n},z_{n+1}=x_n+\dfrac 1{y_n},$$求证：$x_{200},y_{200},z_{200}$ 中至少有一个数大于 $20$． 2022-04-17 21:02:04
27380 590aa6bc6cddca0008610def 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\left\{{a_n}\right\}$ 满足 $\dfrac{1}{3}{a_n}\leqslant{a_{n + 1}}\leqslant 3{a_n}$，$n \in{{\mathbb{N}}^*}$，${a_1}= 1$． 2022-04-17 21:40:03
27378 590aa7296cddca0008610df4 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\left\{{a_n}\right\}$ 满足 $\dfrac{1}{3}{a_n}\leqslant{a_{n + 1}}\leqslant 3{a_n},n \in{{\mathbb{N}}^*}$，${a_1}= 1$． 2022-04-17 21:39:03
27375 590ac1166cddca000a08198b 高中 解答题 高考真题 已知 $\{a_n\}$ 为递增数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1>1$，且 $10S_n=\left(2a_n+1\right)\left(a_n+2\right)$，$n\in\mathbb N^*$． 2022-04-17 21:36:03
27350 590acde56cddca000a081a10 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $2a_{n+1}=1-a_n^2$，且 $0<a_1<1$．求证：当 $n\geqslant 3$ 时，$\left|\dfrac{1}{a_n}-\left(\sqrt 2+1\right)\right|<\dfrac{12}{2^n}$． 2022-04-17 21:22:03
27334 590abefb6cddca00092f6f79 高中 解答题 自招竞赛 求证：数列 $a_n=\left(1+\dfrac 1n\right)^{n+1}$ 单调递减． 2022-04-17 21:13:03
27333 59531a46d3b4f900086c429e 高中 解答题 自招竞赛 求证：数列 $a_n=\left(1+\dfrac 1n\right)^{n+1}$ 单调递减． 2022-04-17 21:12:03
27296 590bd31e6cddca0008610fbe 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是 $13$ 项的等差数列，集合\[A=\left\{a_i+a_j+a_k\left|\right.1\leqslant i < j < k \leqslant 13,i,j,k\in \mathbb {N}^*\right\},\]则 $0,\dfrac 72,\dfrac {16}3$ 能否同时在集合 $A$ 中？ 2022-04-17 21:54:02
27279 590bd9926cddca000a081b21 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_{n + 1}} = n{p^n} + q{a_n},a_1=0$． 2022-04-17 21:44:02
27241 590be1846cddca00078f3acf 高中 解答题 自招竞赛 已知实数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\left|a_1\right|=1$，$\left|a_{n+1}\right|=q\left|a_n\right|$，$n\in\mathbb {N}^*$，常数 $q>1$．对任意的 $n\in\mathbb {N}^*$，有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\left|a_k\right|}\leqslant 4\left|a_n\right|$．设 $C$ 为所有满足上述条件的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的集合． 2022-04-17 21:27:02
27239 590beea0d42ca7000a7e7de0 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$（$n\in\mathbb N^*$），求证：数列 $\{a_n\}$ 中的任意两项都互质． 2022-04-17 21:26:02
27232 590bf127d42ca7000853754f 高中 解答题 自招竞赛 下图是2013年恒大足球俱乐部策划的主场与首尔FC足球队的亚冠决赛海报，左边是恒大队，右边是首尔队，该海报的寓意是什么？要求简单推导海报中两个数学式子的结果．一个数学式子是 $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}$（拉马努金式子），另一个是 $\mathrm e^{\pi \mathrm i}+1$（已知欧拉公式 $\mathrm e^{\pi \mathrm i}=\cos\alpha+\mathrm i\sin\alpha$）． 2022-04-17 21:21:02
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