求证：数列 $a_n=\left(1+\dfrac 1n\right)^{n+1}$ 单调递减．
【难度】
【出处】
2015年上海交通大学自主招生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
即证明$$\left(1+\dfrac 1n\right)^{n+1}>\left(1+\dfrac 1{n+1}\right)^{n+2},$$整理得$$\left[\dfrac {(n+1)^2}{n(n+2)}\right]^{n+1}>1+\dfrac 1{1+n},$$由伯努利不等式或二项式定理知$$LHS=\left[1+\dfrac 1{n(n+2)}\right]^{n+1}>1+\dfrac {n+1}{n(n+2)}>1+\dfrac 1{n+1},$$所以不等式得证，从而命题得证．
答案
解析
备注
