题目 已知实数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\left|a_1\right|=1$，$\left|a_{n+1}\right|=q\left|a_n\right|$，$n\in\mathbb {N}^*$，常数 $q>1$．对任意的 $n\in\mathbb {N}^*$，有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\left|a_k\right|}\leqslant 4\left|a_n\right|$．设 $C$ 为所有满足上述条件的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的集合． 问题1 求 $q$ 的值； 答案1 $2$ 解析1 根据题意，有\[\forall n\in\mathbb N^*,\dfrac{|a_1|\cdot \left(1-q^{n+1}\right)}{1-q}\leqslant 4|a_1|\cdot q^{n-1},\]即\[\forall n \in \mathbb N^*,q^{n-1}(2-q)^2\leqslant 1,\]因此 $q=2$． 备注1 问题2 设 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}\in C$，$m\in\mathbb {N}^*$，且存在 $n_0\leqslant m$，使 $a_{n_0}\neq b_{n_0}$．证明：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^m{a_k}\neq\sum\limits_{k=1}^m{b_k}$； 答案2 略 解析2 由题意，不妨设 $a_l=2^{l-1},b_l=-2^{l-1},a_{l+1}=b_{l+1},a_{l+2}=b_{l+2},\cdots,a_{m}=b_{m}$，则\[<br/>\displaystyle\sum\limits_{k=1}^m{a_k}-\displaystyle\sum\limits_{k=1}^m{b_k}=2a_l+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{l-1}{a_k}-\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{l-1}{b_k}\geqslant 2^l-2\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{l-1}{2^{k-1}}=2>0,<br/>\]所以 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^m{a_k}\neq\displaystyle\sum\limits_{k=1}^m{b_k}$． 备注2 问题3 设集合 $\displaystyle A_m=\left\{\left.\sum\limits_{k=1}^m{a_k}\right|\left\{a_n\right\}\in C\right\}$，$m\in\mathbb {N}^*$，求 $A_m$ 中所有正数之和． 答案3 $2^{2m-2}$ 解析3 $A_m$ 中所有元素之和为 $2^{m-1}\cdot 2^{m-1}=2^{2m-2}$．显然 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $m$ 项和为正数，当且仅当 $a_m>0$，此时 $a_i(i=1,2,\cdots,m-1)$ 的符号随意．这样的数列共有 $2^{m-1}$ 个．配对求和可得． 备注3