已知正整数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$（$n\in\mathbb N^*$），求证：数列 $\{a_n\}$ 中的任意两项都互质．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有$$a_{n+1}-1=a_n\left(a_n-1\right)=a_n\cdots a_1,$$于是对任意 $p,q\in\mathbb N^*$ 且 $p<q$，都有 $ a_p \mid \left( a_q-1\right)$，因此 $\left(a_p,a_q\right)=1$，因此数列 $\{a_n\}$ 中任意两项都互质．
答案
解析
备注
